高斯曲率

由左至右:负高斯曲率曲面(双曲面),零高斯曲率曲面(圆柱面),和正高斯曲率曲面(球面)。

微分几何中,曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1κ2的乘积。它是曲率的内在度量,也即,它的值只依赖于曲面上的距离如何测量,而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。

用符号表示,高斯曲率K定义为

.

也可以如下给出

其中协变导数g度量张量

R3中的正规曲面的一点p,则高斯曲率为

其中S为形算子。

关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程

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