贝叶斯定理

贝叶斯定理英语:Bayes' theorem)是 概率论中的一个 定理,它跟 随机变量条件概率以及 边缘概率分布有关。在有些关于概率的解释中,贝叶斯定理(贝叶斯公式)能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。這個名稱來自於 托马斯·贝叶斯

通常,事件A在事件B(发生)的条件下的概率,与事件B在事件A(发生)的条件下的概率是不一样的;然而,这两者是有确定的关系的,贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途在于通过已知的三个概率函数推出第四个。

作为一个普遍的原理,贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的;然而, 频率主义者和 贝叶斯主义者对于在应用中,某个随机事件的概率该如何被赋值,有着不同的看法:频率主义者根据随机事件发生的频率,或者总体样本裡面的发生的个数来赋值概率;贝叶斯主义者则根据未知的命题来赋值概率。这样的理念导致贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。

陈述

贝叶斯定理是关于随机事件A和B的 条件概率的一則定理。

其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

在贝叶斯定理中,每个名词都有约定俗成的名称:

  • P(A|B)是已知B發生后A的 條件概率,也由于得自B的取值而被稱作A的 后驗概率
  • P(B|A)是已知A發生后B的條件概率,也由于得自A的取值而被稱作B的 后驗概率
  • P(A)是A的 先驗概率(或 边缘概率)。之所以稱為"先驗"是因為它不考慮任何B方面的因素。
  • P(B)是B的 先驗概率或邊緣概率。

按這些術語,贝叶斯定理可表述為:

后驗概率 = (相似度*先驗概率)/標准化常量

也就是說,后驗概率与先驗概率和相似度的乘積成正比。

另外,比例P(B|A)/P(B)也有時被稱作標准相似度(standardised likelihood),贝叶斯定理可表述為:

后驗概率 = 標准相似度*先驗概率
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