线性代数

三維歐氏空間R3是一個向量空間,而通過原點的線及平面是R3的向量子空間
线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

线性代数是关于向量空间线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究,同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。

坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。[1][2]

线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如,放宽向量空间的公理就产生抽象代数,也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合,使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论英语Operator theory

线性代数的方法还用在解析几何工程物理自然科学計算機科學计算机动画社会科学(尤其是经济学)中。由于线性代数是一套完善的理论,非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。

历史

线性代数的研究最初出现于对行列式的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。莱布尼茨在1693年使用行列式。随后,加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克萊姆法則。然后,高斯利用高斯消元法发展出求解线性系统的理论。这也被列为大地测量学的一项进展。[3][4]

现代线性代数的历史可以上溯到19世纪中期的英国。1843年,哈密顿发现四元数。1844年,赫爾曼·格拉斯曼发表他的著作《线性外代数》(Die lineare Ausdehnungslehre),包括今日线性代数的一些主题。1848年,詹姆斯·西爾維斯特引入矩阵(matrix),该词是“子宫”的拉丁语。阿瑟·凯莱在研究线性变换时引入矩阵乘法和转置的概念。很重要的是,凯莱使用一个字母来代表一个矩阵,因此将矩阵当做了聚合对象。他也意识到矩阵和行列式之间的联系。[3]

不過除了這些早期的文献以外.线性代数主要是在二十世纪发展的。在抽象代数环论开发之前,矩阵只有模糊不清的定義。随着狭义相对论的到来,很多开拓者發現线性代数的微妙。进一步的,解偏微分方程克莱姆法则的例行应用导致大学的标准教育中包括线性代数。例如,E.T. Copson写到:

1882年, Hüseyin Tevfik Pasha写了一本书,名为《线性代数》。[5][6]第一次现代化精确定义向量空间是在1888年,由朱塞佩·皮亞諾提出。在1888年,弗兰西斯·高尔顿还发起相关系数的应用。经常有多于一个随机变量出现并且它们可以互相关。在多变元随机变量的统计分析中,相关矩阵是自然的工具。所以这种随机向量的统计研究帮助矩阵用途的开发。到1900年,一种有限维向量空间的线性变换理论被提出。在20世纪上半叶,许多前几世纪的想法和方法被总结成抽象代数,线性代数第一次有了它的现代形式。矩阵在量子力学狭义相对论统计学上的应用帮助线性代数的主题超越纯数学的范畴。计算机的发展导致更多地研究致力于有关高斯消元法和矩阵分解的有效算法上。线性代数成为数字模拟和模型的基本工具。[3]

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