积空间

拓扑学数学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间笛卡儿积,并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。

定义

I为(可能无穷的)指标集,并设Xi对于I中由i所对应的每一个拓扑空间。置X = Π Xi,也即集合Xi卡积。对于每个I中的i,我们有一个标准投影 pi : XXiX上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的 最疏拓扑(也就是开集最少的拓扑)。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑

很明显,X上的乘积拓扑可以表述为形为pi−1(U)的集合生成的拓扑,其中i属于I,而UXi的一个开集。换句话说,集合{pi−1(U)}构成X上的拓扑的 子基。X子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi−1(U)的集合的交集并集pi−1(U)有时称为 开柱,而它们的交集称为 柱集。

我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的。设对于每个i属于I,选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基,并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。

如果指标集为有限(特别是,对于两个拓扑空间的乘积),则积拓扑有更简单的表述。这个情况下,每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲,Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的 盒拓扑的基。一般情况下,盒拓扑比积拓扑 更细,但是对于有限乘积,它们是相同的。