無窮小量

無窮小量數學分析中的一個概念,用以嚴格地定義諸如「最終會消失的量」[參 1]、「絕對值比任何正數都要小的量」等非正式描述。在經典的微積分或數學分析中,無窮小量通常它以函數序列等形式出現,例如,一個序列若滿足如下性質:

  • 對任意的預先給定的正實數,存在正整數使得

時必定成立;或用極限符號把上述性質簡記為

則序列被稱為時的無窮小量[註 1]

非標準分析中,無窮小量也和實數一樣被視為具體的「數」,這些數比零大,但比任何正實數都小。前面用序列來定義無窮小量的經典方法或多或少有些難於處理,而「非標準」的無窮小量…

利用他们,罗宾逊和其他人轻松地证明了所有传统定理和部分新定理,而19世纪的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的声誉,也纠正了我们在思考运动变化的一点偏差。

引文[參 2]提到的羅賓遜(Abraham Robinson,一譯魯賓遜)是非標準分析的開創者之一[參 3],無窮小量的新定義正是由他給出。直觀地說,一個數稱為無窮大的,如果它比1, 1+1, 1+1+1...等任何自然數都要大,而一個數稱為是無窮小的,如果它不等於零而且它的倒數是無窮大。但這種數的存在與否,甚至能不能合法地稱作一種「數」等,都是需要進一步考慮的本質問題。

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