格 (数学)

术语(lattice)来源于描述这种次序的 哈斯圖的形状。

数学中,是其非空有限 子集都有一个 上确界(叫)和一个 下确界(叫)的 偏序集合(poset)。格也可以特征化为满足特定公理 恒等式代数结构。因为两个定义是等价的,格理论从 序理论泛代数二者提取内容。 半格包括了格,依次包括 海廷代数布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。

序理论定义

考虑任意一个 偏序集合L,≤),如果对集合L中的任意元素a,b,使得a,b在L中存在一个最大下界,和最小上界,则(L,≤)是一个格。

这里对于取a,b的最大下界的操作用表示;

对于取a,b的最小上界操作用 表示。

有界格有一个 最大元素和一个 最小元素,按惯例分别指示为1和0(也叫做)。任何格都可以通过增加一个最大元素和最小元素而转换成有界格。

使用容易的 归纳论证,你可以演绎出任何格的所有非空有限子集的上确界(并)和下确界(交)的存在。一个很重要的格的种类是 完全格。一个格是完全的,如果它的所有子集都有一个交和一个并,这对比于上述格的定义,这里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。