无穷

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

無窮無限,來自於拉丁文的「infinitas」,即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在科學神學哲學數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。

在神學方面,根據書面記載無窮這個符號最早被用於某些秘密宗教,通常代表人類中的神性,而書寫此符號時兩圓的不對等代表人神間的差距,例如神學家邓斯·司各脱(Duns Scotus)的著作中,上帝的無限能量是運用在無約束上,而不是運用在無限量上。在哲學方面,無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面,無窮又作為無限,很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。

在數學方面,無窮與下述的主題或概念相關:數學的極限阿列夫數集合論中的戴德金無限集合英语Dedekind-infinite set羅素悖論超實數射影幾何擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中,無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念,而不是一個數。

歷史

早期無限的觀點

最早關於無限的記載出現在印度夜柔吠陀(公元前1200-900)。書中說:「如果你從無限中移走或添加一部分,剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把數分作三類:「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分成三種階:

  • 可計的:小的、中的與大的。
  • 不可計的:接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的,以及無限也包括在內。
  • 無限:接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿( Archimedes Palimpsest英语Archimedes Palimpsest),在殘卷《方法》命題14中,發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分集合論的手法,計算了兩組無窮大的集合,以求和的方法,證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

文藝復興時代至近代

伽利略最先發現一個集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

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