数学史

数学史的主要研究对象是历史上的数学发现,以及调查它们的起源,或更广义地说,数学史就是对过去的数学方法与数学符号的探究。

数学起源于人类早期的生产活动,为古中国六艺之一,亦被古希腊学者视为哲学之起点。數學最早用於人們計數、天文、度量甚至是貿易的需要。這些需要可以簡單地被概括為數學對結構空間以及時間的研究;對結構的研究是從數字開始的,首先是從我們稱之為初等代數的——自然數整數以及它們的算術關係式開始的。更深層次的研究是數論;對空間的研究則是從幾何學開始的,首先是歐幾里得幾何和類似於三維空間(也適用於多或少維)的三角學。後來產生了非歐幾里得幾何,在相對論中扮演著重要角色。

欧几里得所著《几何原本》中的一个证明 —— 被广泛认为是历史上最具影响力的教科书。[1]

在进入知识可以向全世界传播的现代社会以前,有记录的新数学发现仅仅在很少几个地区重见天日。目前最古老的数学文本是《普林顿 322》(古巴比伦,约公元前1900年[2]),《莱因德数学纸草书》(古埃及,约公元前2000年-1800年[3]),以及《莫斯科数学纸草书》(古埃及,约公元前1890年)。以上这些文本都涉及到了如今被称为毕达哥拉斯定理的概念,后者可能是继简单算术和几何后,最古老和最广泛传播的数学发现。

在公元前6世纪后,毕达哥拉斯将数学作为一门实证的学科进行研究,他创造了古希腊语单词μάθημαmathema),意为“(被人们学习的)知识学问”[4]。希腊数学家在相当大的程度上改进了这些数学方法(特别引入了演绎推理和严谨的数学证明),并扩大了数学的主题[5]。中国数学做了早期贡献,包括引入了位值制系统[6][7]。如今大行于世的印度-阿拉伯数字系统和运算方法,很可能是在公元后1000年的印度逐渐演化,并被伊斯兰数学家通过花拉子米的著作将其传到了西方[8][9]。伊斯兰数学则将以上这些文明的数学做了进一步的发展贡献。许多古希腊和伊斯兰数学著作随后被翻译成了拉丁文,引领了中世纪欧洲更深入的数学发展[10]

从16世纪文艺复兴时期的意大利开始,算术初等代数及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变数概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展,为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

从古代到中世纪,数学发展的历史时期都伴随着数个世纪的停滞,但从16世纪以来,新的数学发展伴随新的科学发展,让数学不断加速大步前进,直至今日。


史前数学

奇普印加帝國時所使用的計數工具。


數學有着久遠的歷史。它被認為起源於人類早期的生產活動; 中國古代的六艺之一就有「數」[11],數學一詞在西方有希腊詞源μαθηματικός(mathematikós), 意思是“学问的基础”,源于μάθημα(máthema)(“科学,知识,学问”)。

数学的源头在数、量和形之中[12]。现代对动物认知的研究表明,这并不是人类特有的概念。这些概念是狩猎者-采集者社会中日常生活的一部分。在一些语言的词汇中,保留了“一”、“二”、“很多”的区别,但并没有大于二的数,这个事实支持了“数”的概念是随时间而演化的说法[12]

史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質的多少、時間的長短等抽象的數量關係,如時間季節算術()也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。

已知最古老的數學工具是發現於斯威士蘭列朋波山的 列朋波骨,大約是公元前35,000年的遺物。它是一支狒狒的腓骨,上面被刻意切割出29個不同的缺口,使用計數婦女及跟踪婦女的月經週期。相似的史前遗物也在非洲法國出土,大約有35,000至20,000年之久,都與量化時間有關。[13]。发现于尼罗河上源之一的爱德华湖西北岸伊香苟地区(位于刚果民主共和国东北部),或许有20000年甚至更久,则刻有三组一系列的条纹符号,每列和骨头等长。常见的解释是已知最早的质数序列[14],亦有认为是代表六个阴历月的纪录[15]。 学者 Peter Rudman 否认素数序列的解释,他认为素数的概念只能出现在除法之后,而他认定除法是在公元前1000年后才出现的,因此在公元500年以前,素数是不太可能被理解 的。他写道,“一个计数符号之类的东西为什么要展示2的倍数,10到20之间的素数,和一些几乎是10的倍数,这是没人尝试解释过的”[16]。而根据学者Alexander Marshack 的说法,这个骨头可能影响了随后埃及数学的发展。因为埃及算术就像这块骨头一样,也使用了2的倍数,然而,这也是有争议的[17]

其他地區亦發現不同的史前記數系統,如 符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普

在幾何學方面,公元前五千年的古埃及前王朝時期即已出現用圖畫表示的幾何圖案。也有人声称,年代大約是公元前三千年的英格蘭蘇格蘭地區的巨石文化遺址中,也發現了融入幾何觀念的設計,包括圓形橢圓形畢達哥拉斯三元數[18]。然而上述发现也全部有争议,而目前最早的无争议的数学史料当前依然是来自古巴比伦和古埃及史后的。

從歷史時代的一開始,數學內的主要原理是為了做稅務貿易等相關計算,為了了解數字間的關係,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对數量、结构、空间时间方面的研究。

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