拓扑空间

上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間,因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3};右下角的集合也不是個拓撲空間,因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构,可以在上頭形式化地定義出如收敛连通连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学

定义

拓撲空間是一個集合  和其上定义的拓扑结构组成的二元组 的元素  通常称为拓扑空间 的点。而拓扑结构一词涵盖了开集闭集邻域开核闭包导集滤子等若干概念。从这些概念出发,可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。 

开集公理

 的子集族称为开集系(其中的元素称为开集),当且仅当其滿足如下开集公理

  • O1
  • O2:若),则(对任意并运算封闭)。
  • O3:若,则。(对有限交运算封闭)。

从开集出发定义其它各概念:

  • 开集定义闭集的子集是闭集,当且仅当是开集。
  • 开集定义邻域的子集是点的邻域,当且仅当存在开集,使
  • 开集定义开核的子集的开核等于包含的所有开集之并。

闭集公理

子集族称为闭集系(其中的元素称为闭集),当且仅当其滿足如下闭集公理

  • C1
  • C2:若),则(对任意交运算封闭)。
  • C3:若,则。(对有限并运算封闭)。

(显然,闭集是开集的对偶概念)。

从闭集出发定义其它各概念:

  • 闭集定义开集的子集是开集,当且仅当是闭集。
  • 闭集定义闭包的子集的闭包等于包含A的所有闭集之交。

邻域公理

的映射的幂集的幂集)。这样的每个点映射至的子集族称为邻域系的元素称为邻域),当且仅当对任意的满足如下邻域公理

  • U1:若,则
  • U2:若,则。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
  • U3:若,则
  • U4:若,则存在,且,使对所有,有

从邻域出发定义其它概念:

  • 邻域定义开集的子集是开集,当且仅当对任意,有。(是其中每个点的邻域)。
  • 邻域定义开核的子集的开核
  • 邻域定义闭包的子集的闭包

闭包公理

的幂集上的一元运算(即将的子集A映射为的子集)称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算满足下述的闭包公理

  • A1
  • A2
  • A3
  • A4

集合的闭包通常记为

从闭包出发定义其它概念:

  • 闭包定义闭集的子集是闭集,当且仅当
  • 闭包定义开核的子集的开核
  • 闭包定义邻域的子集是点的邻域,当且仅当

开核公理

的幂集上的一元运算(即将的子集A映射为的子集)称为开核运算(像称为原像的开核内部)。当且仅当运算满足如下开核公理

  • I1
  • I2
  • I3
  • I4

集合的开核通常记为。 (显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。

从开核出发定义其它概念:

  • 开核定义开集的子集是开集,当且仅当
  • 开核定义邻域的子集是点的邻域,当且仅当
  • 开核定义闭包的子集的闭包

导集公理

的幂集上的一元运算(即将的子集映射为的子集)称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当满足以下导集公理

  • D1
  • D2
  • D3
  • D4

从导集出发定义其它概念:

  • 导集定义闭集的子集是闭集,当且仅当
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