交換代數

抽象代數中,交換代數旨在探討 交換環及其 理想,以及交換環上的 代數數論代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括 多項式環、 代數整數環與 p進數環,以及它們的各種 商環局部化

由於 概形無非是 交換環譜的黏合,交換代數遂成為研究 概形 局部性質的主要語言。

源流

此學科原稱「理想論」,始自 戴德金理想方面的工作,而其工作又建基於 庫默爾克羅內克的早期工作。此後 希爾伯特引入術語「環」,以推廣先前採用的「數環」。希爾伯特以較抽象的進路取代先前基於 複分析不變量理論的計算導向進路,希爾伯特大大啟發了 埃米·諾特,諾特在交換代數中引進了許多公理化的抽象方法。另一位重要角色是希爾伯特的弟子Emanuel Lasker(也是世界棋王),他引入了 準素理想,並證明了Lasker-Noether定理的首個版本。

現代交換代數學置重點於 。一個環的理想、商環與-代數皆可視為-模,是以模論能兼攝理想與環擴張。儘管模論在克羅內克的工作中已開先河,一般仍將此歸功於埃米·諾特。

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