Проективна площина

Ці паралельні прямі візуально перетинаються у деякій зникомій точці "в безмежності". В проективній площині це фактично є правдивим.

В математиці, проективна площина це геометрична структура, яка розширює поняття площини. На звичайній Евклідовий площині, дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі, паралельними прямими), які не перетинаються. Проективну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові "точки на нескінченності" в яких паралельні прямі перетинаються. Таким чином будь-які дві різні прямі в проективній площині перетинаються в одній і лише одній точці.

Художники ренесансу, розвиваючи техніку малювання в перспективі, заклали основу цій математичної тематики. Архітипним прикладом є дійсна проективна площина [en], також відома як розширена Евклідова площина. [1] Цей приклад, в дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в алгебраїчній геометрії, топології і проективній геометрії де вона може позначатися по різному PG(2, R), RP2, або P2(R) та ін.. Існує багато інших проективних площин, як приклад, нескінченна комплексна проективна площина, і скінченна, площина Фано.

Проективна площина є двовимірним проективним простором, але не всі проективні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. Теорема Дезарга).

Визначення

Проективна площина складається з набору прямих, набору точок, і зв'язків між прямими і точками, які називаються спадання (інцидентом), які мають наступні властивості:

  1. Для даних двох різних точок, є лише одна пряма яка проходить через обидві з них.
  2. Для даних двох різних прямих, існує лише одна точка що належить їм обом.
  3. Існує чотири таких точки, що не існує прямих які перетинаються із більше ніж двома з них.

Друга умова означає, що не існує паралельних прямих. Остання умова виключає так звані вироджені випадки. Термін "інцидент" (спадання) використовується аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином вислів "точка P є інцидентною з прямою l " "точка P є спадною прямої l " використовується замість вислову "P знаходиться на l " або "l проходить крізь P ".

інші мови