Комплексне число

Комплексне число можна представити парою чисел (a, b), що утворюють вектор на діаграмі, яка називається Діаграма Арганда, що зображає комплексну площину. "Re" — вісь дійсних чисел, "Im" — вісь уявних чисел, а i задовольняє умові i2 = −1.

Ко́мпле́ксні чи́сла — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається .Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і  — дійсні числа,  — уявна одиниця[1].

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле — це означає, що многочлен степеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це головна причина широкого застосування комплексних чисел у математиці. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно формулювати багато математичних моделей в фізиці.

Поле комплексних чисел можна розглядати як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі змісти комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел , як і будь-які інші конструкції поля розкладу многочлена .

Комплексне число можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел . Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:

Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду , причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль зображується парою , одиниця — , а уявна одиниця — . На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює , тобто

Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.

Відомо також кілька узагальнень комплексних чисел, таких як кватерніони.

інші мови
Afrikaans: Komplekse getal
Alemannisch: Komplexe Zahl
aragonés: Numero complexo
العربية: عدد مركب
অসমীয়া: জটিল সংখ্যা
azərbaycanca: Kompleks ədədlər
башҡортса: Комплекслы һан
беларуская: Камплексны лік
беларуская (тарашкевіца)‎: Камплексны лік
bosanski: Kompleksan broj
Cymraeg: Rhif cymhlyg
Deutsch: Komplexe Zahl
emiliàn e rumagnòl: Nómmer cumplês
Esperanto: Kompleksa nombro
فارسی: عدد مختلط
føroyskt: Komplekst tal
français: Nombre complexe
Nordfriisk: Kompleks taal
贛語: 複數
hrvatski: Kompleksni broj
հայերեն: Կոմպլեքս թիվ
Bahasa Indonesia: Bilangan kompleks
íslenska: Tvinntölur
日本語: 複素数
la .lojban.: relcimdyna'u
қазақша: Кешен сан
ភាសាខ្មែរ: ចំនួនកុំផ្លិច
한국어: 복소수
Lingua Franca Nova: Numero complesal
lumbaart: Numer compless
Malagasy: Isa haro
македонски: Комплексен број
മലയാളം: മിശ്രസംഖ്യ
Bahasa Melayu: Nombor kompleks
မြန်မာဘာသာ: ကွန်ပလက်စ်ကိန်း
Nederlands: Complex getal
norsk nynorsk: Komplekse tal
Piemontèis: Nùmer compless
português: Número complexo
română: Număr complex
русиньскый: Комплексне чісло
srpskohrvatski / српскохрватски: Kompleksan broj
Simple English: Complex number
slovenčina: Komplexné číslo
slovenščina: Kompleksno število
Soomaaliga: Tiro kakan
српски / srpski: Комплексан број
svenska: Komplexa tal
Kiswahili: Namba changamano
татарча/tatarça: Комплекс сан
oʻzbekcha/ўзбекча: Kompleks sonlar
Tiếng Việt: Số phức
West-Vlams: Complexe getalln
文言: 複數
Bân-lâm-gú: Ho̍k-cha̍p-sò͘
粵語: 複數