Висота трикутника

Різні типи висот трикутника. Висота може лежати в середині трикутника, на стороні або зовні трикутника.

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить сторону протилежну вершині та перпендикулярний до неї. Висотою також називають довжину висоти трикутника, тобто відстань від вершини до протилежної сторони. Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, яка містить протилежну сторону.

Висоту використовують для обчислення площі трикутника. Вона дорівнює половині добутку довжини висоти на довжину основи, тобто протилежної сторони:

де — відповідно довжина сторони та висота трикутника ( від англ. height), опущена на цю сторону. Отже, найдовша висота трикутника буде лежати навпроти найкоротшої сторони трикутника. Висота пов'язана з довжинами сторін трикутника тригонометричними функціями.

У рівнобедреному трикутнику (трикутнику, в якому дві сторони конгруентні), висота, проведена до неконгруентної сторони, потрапляє у середню точку цієї сторони. Також, ця висота буде бісектрисою кута трикутника, з вершини якого вона проведена.

Висота в прямокутному трикутнику.png

В прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу ділить її на два відрізки довжини m і n. Якщо довжину висоти позначити через , то отримаємо співвідношення:

  (середнє геометричне)

В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника. В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику дві висоти збігаються з катетами цього трикутника.

Три висоти або їх продовження, перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр буде лежати всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут).

Теорема про перетин висот трикутника

Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.

Висоти трикутника (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника. В гострокутному — всередині трикутника. В прямокутному трикутнику збігається з вершиною прямого кута.

Ілюстрація доведення теореми про перетин висот трикутника
Доведення теореми про перетин висот трикутника

Розглянемо довільний трикутник і доведемо, що прямі , , , які містять його висоти, перетинаються в одній точці.

Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну протилежній стороні. Дістанемо трикутник . Точки , і є серединами сторін цього трикутника. Справді, і як протилежні сторони паралелограмів і , а тому точка є серединою стороною . Аналогічно точки та є серединами сторін та відповідно.

Крім того, як випливає з побудови, , і . Таким чином, прямі , , є серединними перпендикулярами до сторін трикутника , а тому перетинаються в одній точці як серединні перпендикуляри (відомо, що серединні перпендикуляри в довільному трикутнику перетинаються в одній точці).

інші мови
العربية: ارتفاع (مثلث)
беларуская (тарашкевіца)‎: Вышыня трыкутніку
bosanski: Visina trougla
Esperanto: Alto (triangulo)
ភាសាខ្មែរ: កំពស់ត្រីកោណ
srpskohrvatski / српскохрватски: Visina trougla
slovenščina: Višina trikotnika
српски / srpski: Висина троугла
ślůnski: Wyżka trzieka