Corps fini | histoire

Histoire

Évariste Galois publie en 1830 l'article fondateur de la théorie des corps finis.

La théorie des corps finis se développe dans un premier temps, comme l'étude des congruences, sur des entiers et sur des polynômes, puis à partir de la toute fin du XIXe siècle, dans le cadre d'une théorie générale des corps commutatifs.

Congruences et imaginaires de Galois

L'étude des corps finis premiers est traité systématiquement, sous forme de congruences, par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae parues en 1801, mais beaucoup de ces propriétés avaient déjà été établies par entre autres Fermat, Euler, Lagrange et Legendre[7].

En 1830, Évariste Galois publie[28] ce qui est considéré comme l'article fondateur de la théorie générale des corps finis[7]. Galois, qui déclare s'inspirer des travaux de Gauss sur les congruences entières, traite de congruences polynomiales, pour un polynôme irréductible à coefficients pris eux-mêmes modulo un nombre premier p. Plus précisément Galois introduit une racine imaginaire d'une congruence P(x) = 0 modulo un nombre premier p, où P est un polynôme irréductible modulo p. Il note i cette racine et travaille sur les expressions :

a + a1 i + a2 i2 + … + an–1 in–1n est le degré de P.

Retraduit en termes modernes, Galois montre que ces expressions forment un corps de cardinalité pn, et que le groupe multiplicatif est cyclique (Kleiner 1999, I, p. 683). Il remarque également qu'un polynôme irréductible qui a une racine dans ce corps, a toutes ses racines dans celui-ci, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une extension normale de son sous-corps premier (Lidl et Niederreiter 1997, p. 75). Il utilise l'identité donnée par ce qui a été appelé depuis l'automorphisme de Frobenius (Van der Waerden 1985, p. 111). En 1846, Liouville, en même temps qu'il fait publier le fameux mémoire de Galois sur la résolution des équations polynomiales, fait republier cet article dans son Journal de mathématiques pures et appliquées.

Il s'avère qu'en fait Gauss a mené des travaux au moins aussi complets sur le même sujet trente ans auparavant, quand il préparait ses Disquisitiones arithmeticae (cf. Frei 2007). Plutôt que d'introduire une racine imaginaire comme Galois, il travaille directement sur des polynômes, avec une double congruence, modulo p premier pour les coefficients, et modulo un polynôme irréductible (mais il mentionne que l'introduction de racines simplifierait la présentation). Il prépare un chapitre sur le sujet, qu'il met en attente pour une seconde partie qui ne paraîtra jamais de son vivant. Ce travail restera inconnu jusqu'à la parution posthume de l'édition de ses œuvres en 1863[29]. C'est donc l'article de Galois qui est à l'origine des développements du XIXe siècle sur les corps finis. Ainsi Serret[30] donne une démonstration de l'existence d'un polynôme irréductible pour tout degré n et modulo tout nombre premier p, en termes modernes l'existence d'un corps fini de cardinal pn (à cause de l'utilisation des imaginaires de Galois, la rigueur de celle-ci sera contestée par Dickson — cf. Dickson, p. 240). Il faut cependant mentionner également deux articles sur le sujet de Theodor Schönemann en 1845 et 1846, moins aboutis que ceux de Gauss et Galois, mais qui purent influencer Kronecker (Frei 2007, p. 72).

Théorie des corps

E. H. Moore montre en 1893 qu'un corps commutatif fini peut toujours se définir à la façon de Galois, en termes modernes, comme le corps de rupture d'un polynôme irréductible.

En 1893, le mathématicien américain E. H. Moore démontre qu'un corps (commutatif) fini est caractérisé par son cardinal[7],[31] ; un corps fini est un ensemble de symboles, de cardinal fini s, muni des quatre opérations « sujettes aux identités ordinaires de l'algèbre abstraite[32] », sans plus de précision. Moore montre qu'un tel corps est « la forme abstraite » d'un « champ de Galois » (en anglais : Galois field) de cardinal s = pn défini à la façon de l'article de Galois, et du livre de Serret cités ci-dessus. La première présentation moderne de la théorie des corps finis est due à son ancien étudiant L. E. Dickson en 1901[33],[7]. Joseph Wedderburn, qui séjourne à l'université de Chicago en 1904-1905, y travaille en étroite collaboration avec Dickson[34]. Il démontre en 1905 qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif. La structure des corps finis est entièrement élucidée.

Parallèlement, Heinrich Weber donne une première approche vraiment axiomatique de la théorie des corps (commutatifs) dans un article de 1893[35]. Il souhaite ainsi unifier des notions apparues précédemment dans différents champs mathématiques, dont ce que nous appelons maintenant les corps finis (Kleiner 1999, II, p. 860). Le terme de corps (en allemand : Körper) est lui-même repris de Richard Dedekind[36], qui l'avait introduit pour les sous-corps des réels ou des complexes, définis comme des sous-ensembles stables par les quatre opérations usuelles[37]. Le traitement moderne de la théorie des corps commutatifs (avec les corps finis comme cas particuliers), fondé sur la définition axiomatique actuelle, est développé par Ernst Steinitz en 1910 dans un mémoire célèbre[38].

Applications théoriques

Les corps finis sont, en particulier, utilisés en arithmétique, au fondement par exemple de l'arithmétique modulaire, laquelle a permis à Gauss de démontrer[39] la loi de réciprocité quadratique. La structure de corps intervient notamment dans la résolution d'équations diophantiennes (voir section #Applications). Le petit théorème de Fermat est un exemple archétypal.

Artin utilise le fait qu'un contexte naturel des lois de réciprocité est celui des corps finis. C'est l'un des outils qui lui permettent de résoudre le neuvième problème de Hilbert. Il initie l'analyse de l'équivalent de la fonction zêta de Riemann sur les corps finis. La géométrie arithmétique se généralise sur des structures finies. Cette approche est particulièrement active durant la seconde moitié du XXe siècle. André Weil généralise la démarche aux courbes algébriques et Pierre Deligne aux variétés algébriques. Les conjectures de Weil sur les variétés sur des corps finis, énoncées en 1940 par André Weil, font partie des problèmes importants de cette époque. Démontrées en 1974, elles ouvrent la voie au théorème de Taniyama-Shimura démontré par Andrew Wiles et ayant pour conséquence le dernier théorème de Fermat, souvent cité dans les articles de vulgarisation.

Applications pratiques

Voyager 2 utilise le code Reed-Solomon fondé sur la théorie des corps finis pour communiquer.

Après la Seconde Guerre mondiale et pour les besoins des laboratoires Bell, Claude Shannon formalise la théorie de l'information comme une branche des mathématiques[40], posant les problématiques de la sécurité[41] et de la fiabilité des transmissions.

La cryptologie s'appuie sur la possibilité de générer rapidement de grands nombres premiers. La confidentialité d'un message est assurée par l'insurmontable difficulté technique actuelle de casser des entiers, c'est-à-dire d'effectuer un algorithme permettant de décomposer un nombre en facteurs premiers en un temps raisonnable. Une recherche active cherche à créer de nouveaux algorithmes allant en ce sens. Ainsi, Michael Rabin publie[42] un test de primalité se fondant sur les propriétés du groupe multiplicatif des corps premiers.

La fiabilité traite de la capacité à transmettre sans erreur un message malgré des altérations dans la communication, elle est traitée par la théorie des codes correcteurs. En 1950, Richard Hamming travaille pour les laboratoires Bell avec Shannon sur ce sujet. Il utilise[43] des espaces vectoriels de dimension finie sur des corps finis pour formaliser un cadre opérationnel à la théorie et trouver les premiers exemples de codes correcteurs optimaux. Cette approche donne naissance à la théorie des codes linéaires.

En 1960, Raj Chandra Bose et Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri montrent[44] que des idéaux de l'anneau des polynômes sur les corps finis de caractéristique 2 sont particulièrement adaptés. La théorie est généralisée[45] par Alexis Hocquenghem et donne naissance à la famille de codes BCH. Deux autres fondateurs de la théorie, Irving Reed et Gustave Solomon, enrichissent la méthode[46] et créent des codes à même de résister à de grosses altérations, les codes de Reed-Solomon. Les applications les plus connues sont probablement le système de communication de certaines sondes de la NASA comme Voyager ou les disques compacts. Durant les années 1970, les résultats d'arithmétique avancés sur les courbes elliptiques des corps finis trouvent leur application[47] avec, par exemple, les codes de Goppa.

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