Kinematik | ort, geschwindigkeit und beschleunigung
English: Kinematics

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind die drei zentralen Größen der Kinematik. Sie sind über die Zeit miteinander verbunden: Eine zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit und eine zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung beziehen sich zu jedem Zeitpunkt auf eine gerade Richtung, diese Richtung kann sich aber ständig ändern. Für Drehbewegungen gibt es stattdessen den Drehwinkel, die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung. Alle diese Größen sind Vektoren. Sie haben nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung.

Ort

Für den Ort eines punktförmigen Körpers sind zahlreiche Notationen gebräuchlich: Allgemein gebräuchlich ist für den Ortsvektor. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt im Koordinatensystem an dem sich der Körper befindet. Bei kartesischen Koordinaten ist auch üblich, manchmal steht nur für die X-Komponente des Ortsvektors. Wenn die Bahnkurve des Punktes bekannt ist, dann wird der Ort auch durch den zurückgelegten Weg entlang der Bahnkurve angegeben. Bei verallgemeinerten Koordinaten ist gebräuchlich. Da sich der Ort eines Punktes mit der Zeit ändert, wird auch oder verwendet.

Die Funktion die jedem Zeitpunkt einen Ort zuordnet ist das Weg-Zeit-Gesetz. In kartesischen Koordinaten kann diese durch die skalaren Funktionen , und dargestellt werden, die die Komponenten des Ortsvektors bilden:

wobei die Einheitsvektoren die Basis (Vektorraum) des kartesischen Koordinatensystems darstellen.

Geschwindigkeit

Die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit . Wenn sich der Ort eines Körpers während eines Zeitraumes um den Weg ändert, dann hat er während dieses Zeitraumes die mittlere Geschwindigkeit

.

Die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt, die Momentangeschwindigkeit, ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung des Ortsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes :

.

Die Geschwindigkeit ist also die Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Ortsvektor gekennzeichnet. In kartesischen Koordinaten hat der Geschwindigkeitsvektor die Komponenten , und , die jeweils die zeitliche Ableitung der Ortskoordinaten , und darstellen:

Der Geschwindigkeitsvektor setzt sich zusammen aus seinem Betrag und dem normierten Richtungsvektor . Dieser Richtungsvektor stellt dabei einen momentanen Tangentialvektor zur Bahnkurve des Teilchens dar.

Beschleunigung

Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung . Wenn sich die Geschwindigkeit eines Körpers während eines Zeitraumes um den Wert ändert, dann hat er die mittlere Beschleunigung

Die Beschleunigung zu jedem beliebigen Zeitpunkt ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung des Geschwindigkeitsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes :

.

Die Beschleunigung ist also die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Geschwindigkeitsvektor gekennzeichnet, sowie die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit zwei Punkten über dem Ortsvektor gekennzeichnet. In kartesischen Koordinaten wird die Beschleunigung durch ihre Komponenten , und dargestellt, die sich als zweite Zeitableitung der Ortskomponenten , und ergeben:

Der Beschleunigungsvektor kann in zwei Komponenten aufgetrennt werden, die jeweils tangential und normal zur Bahnkurve gerichtet sind. Die Tangentialbeschleunigung beschreibt dabei die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsbetrages und bildet eine Tangente zur Bahnkurve:

Die Normalbeschleunigung hingegen beschreibt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsrichtung und liefert ein Maß für die Krümmung der Bahnkurve:

wobei ein normierter Normalenvektor der Bahnkurve ist und den Krümmungsradius der Bahnkurve bezeichnet.

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