Geschwindigkeit | definition

Definition

Bahnkurve, Ortsvektor, Sehne und Wegstrecke

Der Begriff der Geschwindigkeit (Symbol ) an einem bestimmten Punkt () der Bahnkurve baut auf der Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit () auf, mit der die Bewegung einen Streckenabschnitt durchläuft, der an den Punkt angrenzt: .

Dabei ist die Sehne des Streckenabschnitts zwischen den Punkten und , an denen sich der Körper zu Beginn bzw. am Ende des Zeitraums befindet. Der Vektor hat die Richtung der Sehne .

Aus dieser Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich die Momentangeschwindigkeit am Punkt , wenn man ihm den Punkt so nahe kommen lässt, dass der Quotient einem bestimmten Wert, dem Grenzwert zustrebt. Gleichzeitig strebt das Zeitintervall gegen Null, was als geschrieben wird. Dieser Vorgang, der Grenzübergang genannt wird, findet in der Differentialrechnung eine mathematisch exakte Grundlage. Die Momentangeschwindigkeit am Punkt ist damit (in drei gleichwertigen Schreibweisen)

.
Wegstrecken bei einer Bewegung mit gekrümmter Bahnkurve.
Sonderfall der geradlinigen Bewegung.

Da die Sehne beim Grenzübergang die Richtung der Tangente an die Bahnkurve annimmt, ist dies auch die Richtung der Momentangeschwindigkeit.

Der Betrag der Momentangeschwindigkeit (das „Tempo“ oder die Bahngeschwindigkeit) ist durch gegeben. Das ist nicht dasselbe wie (wobei der Betrag des Ortsvektors ist), wie man beispielsweise an der Kreisbewegung mit sehen kann.

Den Betrag der Momentangeschwindigkeit kann man auch als Skalar erhalten, wenn man statt der dreidimensionalen Bahnkurve nur die Wegstrecke (Symbol ) entlang der Bahnkurve berücksichtigt (s. Abb.). Man bildet den Grenzwert, den der Quotient aus zurückgelegter Wegstrecke und benötigter Zeit annimmt: .

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