Vector propio y valor propio | aplicaciones

Aplicaciones

Ecuación de Schrödinger
La función de onda asociada a los estados ligados de un electrón en un átomo de hidrógeno puede verse como los vectores propios del átomo de hidrógeno hamiltoniano así como al operador momento angular. Está asociada a los valores propios interpretados como sus energías (incrementándose según n=1,2,3,...) y al momento angular (incrementándose según s,p,d,...). Aquí se muestra el cuadrado del valor absoluto de las funciones de onda. Las áreas más iluminadas corresponden a densidades de probabilidad más altas para una posición. El centro de cada figura es el núcleo atómico, un protón.

Un ejemplo de una ecuación de valor propio donde la transformación se representa en términos de un operador diferencial es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la mecánica cuántica:

Donde H, el Hamiltoniano, es un operador diferencial de segundo orden y la función de onda, es una de las funciones propias correspondientes al valor propio E, interpretado como la energía.

Sin embargo, en caso de que sólo se busquen soluciones para los estados ligados de la ecuación de Schrödinger, como suele ser el caso en química cuántica, se buscará en el espacio de las funciones de cuadrado integrable. Dado que este espacio es un espacio de Hilbert, con un producto escalar bien definido, podemos introducir una base en la que se puede representar y H como un vector unidimensional y una matriz respectivamente. Esto permite representar la ecuación de Schrödinger en forma matricial.

La notación bra-ket, utilizada a menudo en este contexto, pone énfasis en la diferencia entre el vector o estado y su representación, la función . En este contexto se escribe la ecuación de Schrödinger

y se llama a un estado propio de H (que a veces se representa como en algunos libros de texto) que puede interpretarse como una transformación en lugar de una representación particular en términos de operadores diferenciales. En la ecuación expuesta, se interpreta como el vector obtenido por aplicación de la transformación H a .

Orbitales moleculares

En mecánica cuántica, y en particular en física atómica y molecular, y en el contexto de la teoría de Hartree-Fock, los orbitales atómicos y moleculares pueden definirse por los vectores propios del operador de Fock. Los valores propios correspondientes son interpretados como potenciales de ionización a través del teorema de Koopmans. En este caso, el término vector propio se usa con un significado más general, pues el operador de Fock es explícitamente dependiente de los orbitales y sus valores propios. Si se quiere subrayar este aspecto se habla de ecuación de valores propios implícitos. Tales ecuaciones se resuelven normalmente mediante un proceso iterativo, llamado método de campo consistente propio. En química cuántica a menudo se representa la ecuación de Hartree-Fock en una base no ortogonal. Esta representación particular es un problema de valor propio generalizado que tiene el nombre de ecuaciones de Roothaan.

Análisis factorial

En análisis factorial, los valores propios de la matriz de covarianza corresponden a los factores, y los valores propios a las cargas. El análisis factorial es una técnica estadística usada en ciencias sociales y mercadotecnia, gestión de producto, investigación operativa y otras ciencias aplicadas que tratan con grandes cantidades de datos. El objetivo es explicar la mayor parte de la variabilidad entre varias variables aleatorias observables en términos de un número menor de variables aleatorias no observables llamadas factores. Las variables aleatorias no observables se modelan como combinaciones lineales de los factores más términos de errores.

Caras propias, un ejemplo del uso de vectores propios.
Caras propias

En procesado de imagen, las imágenes procesadas de caras pueden verse como vectores cuyas componentes son la luminancia de cada píxel. La dimensión de este espacio vectorial es el número de píxeles. Los vectores propios de la matriz de covarianza asociada a un conjunto amplio de imágenes normalizadas de rostros se llaman caras propias. Son muy útiles para expresar una imagen de un rostro como la combinación lineal de otras. Las caras propias proporcionan un medio de aplicar compresión de datos a los rostros, para propósitos de biometría.

Tensor de inercia

En mecánica, los vectores propios del momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido. El tensor de inercia es necesario para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa. Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos obtenidos mediante el círculo de Mohr.

Tensor de tensión

En mecánica de sólidos deformables, el tensor de tensión es simétrico, así que puede descomponerse en un tensor diagonal cuyos valores propios en la diagonal y los vectores propios forman una base.

Valores propios de un grafo

En teoría espectral de grafos, un valor propio de un grafo se define como un valor propio de la matriz de adyacencia del grafo A, o de la matriz Laplaciana del grafo T 1 / 2 {\displaystyle T^{-1/2}} 0 1 / 2 {\displaystyle 0^{-1/2}} . El vector propio principal de un grafo se usa para medir la centralidad de sus vértices. Un ejemplo es el algoritmo PageRank de Google. El vector propio principal de una matriz de adyacencia modificada del grafo de la web da el page rank en sus componentes.

Other Languages
беларуская: Уласны вектар
беларуская (тарашкевіца)‎: Уласныя лікі, вэктары і прасторы
עברית: ערך עצמי
Bahasa Indonesia: Nilai dan vektor Eigen
íslenska: Eigen gildi
日本語: 固有値
한국어: 고윳값
norsk: Egenvektor
slovenščina: Lastna vrednost
українська: Власний вектор
اردو: ویژہ قدر
Tiếng Việt: Vectơ riêng
粵語: 特徵向量