Variedad diferenciable | relación con variedades topológicas

Relación con variedades topológicas

Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable o si dicha estructura será única. En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura con k>0, hay una única estructura C compatible con la anterior.

La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4:

  • Toda variedad topológica de dimensión 1, 2, o 3 tiene una única estructura diferenciable (salvo difeomorfismos).

La situación es diferente en dimensión superior:

  • Se conocen ejemplos de variedades topológicas que no admiten ninguna estructura diferenciable (Teorema de Donaldson),
  • y de otras que admiten múltiples estructuras difeomorfas (incluso una cantidad no numerable de ellas).

Algunos ejemplos:

  • Sólo hay una estructura diferenciable (salvo difeomorfismos) sobre excepto cuando n = 4, caso que admite un número no numerable de estructuras diferenciables.
  • La siguiente tabla muestra el número de estructuras diferenciables (módulo homeomorfismos que conservan la orientación) sobre la n-esferas para dimensiones n < 19. Las esferas con estructuras diferenciables diferentes de la usual se conocen con el nombre de esferas exóticas.
Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Estructuras 1 1 1  ? 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16
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