Variedad diferenciable | cálculo en variedades

Cálculo en variedades

Aspectos que se generalizan

Muchas de las técnicas del cálculo multivariable son aplicables mutatis mutandis en variedades diferenciables. Podemos definir la derivada direccional de una función diferenciable en la dirección marcada por un vector tangente a la variedad. Dicha derivada se comportará de modo similar al de la derivada ordinaria de una función definida en el espacio euclídeo, al menos localmente: habrá versiones del teorema de la función implícita y de función inversa.

Sin embargo, la derivada direccional de un campo de vectores no estará definida de forma directa. Existen varias generalizaciones que captan ciertas características formales de la derivación en espacios euclídeos. Las principales son:

  • La derivada de Lie, que queda definida de forma única por la estructura diferenciable, pero deja de satisfacer alguna de las propiedades de la derivada direccional.
  • Una conexión afín que no está definida de forma única, por lo que debe ser especificada como un dato añadido a la variedad. Presenta una generalización más completa de las características de la derivada direccional ordinaria.

Las ideas del cálculo integral también pueden extenderse a las variedades diferenciables. Encontrarán su expresión natural en el lenguaje del cálculo exterior con formas diferenciables. Teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, en particular el teorema de Green, el de la divergencia y el de Stokes se generalizan en un solo teorema llamado teorema de Stokes.

Vectores tangentes en un punto

En una variedad abstracta, al no considerarse embebida en ningún espacio ambiente, no podremos visualizar el espacio tangente como un subespacio afín del ambiente. La generalización del concepto de espacio tangente requerirá concebir los vectores tangentes como operadores que representan una derivada direccional.

En podemos visualizar un vector como un operador que actúa sobre una función diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por :

En los años 1960 surge la definición axiomática de vector tangente en un punto de una variedad, como generalización de lo anterior. Un vector tangente a una variedad será un operador que satisfaga:

  1. la condición de linealidad:
  2. la regla de Leibniz: .

El conjunto de vectores tangentes en un punto forman un espacio vectorial de la misma dimensión que la variedad llamado espacio tangente en p y notado como . En principio, espacios tangentes en puntos distintos no son comparables. Pero podemos formar con ellos una variedad de dimensión el doble de la dimensión de M, que se llamará fibrado tangente y se notará como TM. Como conjunto,

Aplicaciones diferenciables

Una aplicación se dirá diferenciable si su expresión en cartas lo es. Formalmente, F es diferenciable si para todo punto p de M podemos encontrar una carta de M que lo contenga y una carta de N que contenga a F(p) tales que sea diferenciable.

Una aplicación diferenciable induce un homomorfismo de espacios vectoriales entre los espacios tangentes respectivos. Al igual que en el cálculo diferencial ordinario, podremos aproximar un objeto diferenciable (F) por un objeto lineal ( ).

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