Variedad diferenciable | definición

Definición

Estructura diferenciable

Dada una variedad topológica y un número entero , una estructura diferenciable (o atlas maximal) de clase sobre es una familia de sistemas coordenados sobre de manera que se cumpla que:

  1. recubre M, es decir, ,
  2. dados dos cualesquiera ha de ocurrir que la aplicación , llamada cambio de cartas sea diferenciable de orden .
  3. es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todas las familias de entornos coordenados sobre bajo las condiciones 1 y 2.

Variedad diferenciable

Se dice que el par formado por la variedad topológica M de dimensión n y por la estructura diferenciable F de clase r es una variedad diferenciable de dimensión y clase .

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable (sin más especificaciones) y variedad suave. En cualquier caso, para evitar confusiones, todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable.

Subvariedad diferenciable

Es cualquier subconjunto de una variedad diferenciable que mediante la topología inducida de la variedad original sigue teniendo estructura de variedad diferenciable. En general las subvariedades diferenciables son los subconjuntos de puntos para los cuales es posible definir localmente una función diferenciable f que satisfaga:

Los conjuntos no suaves, o que satisfaciendo una ecuación similar a la anterior pero donde f no fuera diferenciable en general no constituyen subvariedades diferenciables.

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