Spline | interpolación segmentaria lineal

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nudos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo : Interpolar con splines f(x) = 1 / x , en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4

  • f(1) = 1
  • f(2) = 0.5
  • f(4) = 0.25

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas:

  • (1) 1=a+b
  • (2) 0.5=2a+b

De (1) se obtiene:

a=1-b (3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

0.5=2(1-b)+b

luego

b=1.5

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:

a = - 0.5

Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:

  1. (1) 0.5 = 2a + b
  2. (2) 0.25 = 4a + b

a = - 0.125, b = 0.75

Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75

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