Resistencia de materiales | ecuaciones de equivalencia

Ecuaciones de equivalencia

Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.

Elementos lineales

En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricéntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:


Ejes usuales para una pieza prismática recta, con una sección transversal recta, a la que se refieren los esfuerzos de sección.

Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensión para una pieza prismática:


Elementos bidimensionales

Para elementos bidimensionales es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los esfuerzos se componen de 4 esfuerzos de membrana (o esfuerzos axiles por unidad de área), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de membrana usando un conjunto de coordenadas ortogonales sobre una lámina de Reissner-Mindlin:

Donde son los radios de curvatura en cada una de las direcciones coordenadas y z es la altura sobre la superficie media de la lámina. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de área vienen dados por:

El tensor tensión de una lámina general para la que valen las hipótesis de Reissner-Mindlin es:

Un caso particular de lo anterior lo constituyen las láminas planas cuya deformación se ajusta a la hipótesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal deformada. Esa hipótesis es una muy buena aproximación cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:

Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensión para una lámina de Love-Kirchhoff:

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