Infinitesimal | análisis no estándar

Análisis no estándar

El análisis no estándar es una generalización del análisis real. El análisis no estándar permite definir además de los objetos definibles en la teoría ordinaria de los números reales nuevos objetos denomiandos "externos" o "no estándar". Cualquier objeto (número, conjunto o función) definible en la teoría convencional de los números reales es un objeto "estándar" dentro del análisis no estándar. Junto con los objetos "estándar" el análisis no estándar de Robinson permite introducir "objetos no estándar" como número inifinitesimales o números ilimitados (infinitos) y manejarlos de manera totalmente coherente dentro de la teoría.

La teoría no estándar parte de introducir un nuevo predicado , ese predicado permite construir un lenguaje formal que incluye a la teoría ordinaria de los números reales pero permite definir nuevos números (concretamente la noción de número "i-pequeño" e "i-grande" permiten construir números infinitesimales y números ilimitados más grandes que cualquier número real estándar u ordinario). El predicado "estándar" se caracteriza por tres axiomas adicionales que no posee la teoría ordinaria de los números reales, y que por tanto crean un lenguaje formal que permite formalizar números adicionales. El análisis no estándar hace un uso crucial de números infinitesimales e ilimitados:

  • Un número ε es infinitesimal si para cualquier número entero estándar n se cumple que |ε| < 1/n. El único número real estándar con esa propiedad es el cero, pero existe una infinidad r de números reales no estándar tales que: r < 1/n, para cualquier número entero estándar. El predicado inf(·) formaliza la noción de infinitesimal, a partir de la relación primitiva de estándar:

  • Análogamente puede definirse un número ilimitado (o infinito) como cualquier número real r tal que r > n para todo número entero estándar. La clave en esa definición es el término estándar, en la teoría ordinaria de los números reales al no existir la noción de estándar no puede formalizarse el concepto de infinito. El predicado Inf(·) formaliza la noción de número ilimitado, a partir de la relación primitiva de estándar:

El análisis no estándar por tanto permite construir un conjunto de números que extiende al de los números reales, este conjunto es de los números hiperreales y se representa como y en él se pueden definirse reglas aritméticas para los números infinitesimales (inf(·)), ilimitados (Inf(·)), limitados (complemento del anterior: ¬Inf(·)) y apreciables (ni infinitesimos, ni ilimitados: ¬inf(·)∧¬Inf(·)), a partir de estos cuatro conjuntos se tienen las siguientes reglas de Leibniz para las operaciones aritméticas de estos conjuntos:

+/- infinitesimal limitado apreciable ilimitado
infinitesimal infinitesimal limitado apreciable ilimitado
limitado limitado limitado limitado ilimitado
apreciable apreciable limitado limitado ilimitado
ilimitado ilimitado ilimitado ilimitado ?

Para la multiplicación las reglas de Leibniz son las siguientes:

x infinitesimal limitado apreciable ilimitado
infinitesimal infinitesimal infinitesimal infinitesimal ?
limitado infinitesimal limitado limitado ?
apreciable infinitesimal limitado apreciable ilimitado
ilimitado ? ? ilimitado ilimitado
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