Formas diferenciales cerradas y exactas | lema de poincaré

Lema de Poincaré

El resultado topológico fundamental aquí es el lema de Poincaré. Establece que para un subconjunto abierto contractible de X, cualquier p-forma diferenciable definida en X que sea cerrada, es también exacta, para cualquier número entero p > 0 (esto tiene contenido solamente cuando p es a lo sumo n).

Esto no es verdad para un anillo abierto en el plano, para algunas 1-formas que no se extienden suavemente al disco entero; de modo que una cierta condición topológica es necesaria.

En términos de la cohomología de De Rham, el lema dice que los conjuntos contractibles tienen los grupos de cohomología de un punto (considerando que los 0-formas constantes son cerradas pero vacuamente no son exactas).

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