Curva de Agnesi | ecuaciones

Ecuaciones

La curva de Agnesi puede representarse analíticamente como función en el plano xy, tanto en su forma cartesiana y= f(x) como paramétricamente.

Ecuación cartesiana

Tomando el punto O como origen de coordenada, y que T en el lado positivo del eje y, y tomando como radio de la circunferencia el valor a.

Versiera006.svg

Según la figura tenemos las siguientes ecuaciones, por la definición de tangente en el triángulo OAE rectángulo en E y el triángulo OBD rectángulo en D, Semejantes entre sí:

En el triángulo ACF rectángulo en F, y por el teorema de Pitágoras, tenemos que

Podemos ver también las siguientes igualdades:

Que se puede resumir en las relaciones:

Partiendo de las ecuaciones deducimos:

Elevando la ecuación al cuadrado tenemos:

Operando con la expresión tendremos que:

Que invirtiendo la fracción y simplificando dará como resultado:

Entonces la curva tiene por ecuación cartesiana:

Nota: si tomamos a a=1/2, entonces la ecuación toma una forma muy sencilla:

Ecuación paramétrica

Paramétricamente, si es el ángulo entre OD y OB, o lo que es lo mismo entre OE y OA, medido en sentido trigonométrico, entonces la curva se define por las ecuaciones:

Partiendo, al igual que en la ecuación cartesiana, de:

Primero despejaremos la x respecto de :

Con lo que fácilmente se puede ver, que:

Ahora despejaremos la y respecto de , partiendo de:

Sabiendo que:

Tendremos:

Elevando esta expresión al cuadrado, tendremos:

Operando con la expresión:

Sabiendo que:

Tendremos:

Estas ecuaciones dependen del ángulo y de la correspondiente función trigonométrica, veamos un forma paramétrica más sencilla eliminando las funciones trigonométricas.

Partimos de las ecuaciones:

y sabemos que:

haciendo el inverso:

por la relación del coseno respecto al seno:

aplicando la raíz al denominador:

operando la fracción:

si llamamos t a:

tendremos que:

eliminando la raíz:

operando:

lo que resulta:

Con estos resultados y las ecuaciones originales, tenemos:

Con lo que tenemos las ecuaciones paramétricas:

Donde t es un parámetro real, el signo de t es el mismo que el de x, así si t es negativo x será negativo, y si t es positivo x será también positivo. Independientemente del valor de t, y siempre tomara valores positivos, para t igual a cero, x valdrá cero é y valdrá 2a.

Cuando t tiende a infinito, x también tiende a infinito é y se hace cero.

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