Circunferencia | representación de la circunferencia

Representación de la circunferencia

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto de la circunferencia a su centro sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.

Ecuación de la circunferencia

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

Una circunferencia queda determinada por un centro y un radio , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, , al centro sea constante, es decir, dando la siguiente ecuación:[7]

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:[12]

Su función implícita es y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación

Propiedades

  • Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:
Aplicando cuadratura a y se deduce que:

y por tanto de donde:

  • A partir de los puntos extremos de un diámetro, y , la ecuación de la circunferencia es:
Solo hace falta extender el producto de la ecuación dada para identificar la circunferencia:

Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el punto medio es el centro.

Función paramétrica

La circunferencia con centro en y radio se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro para obtener una función paramétrica

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

Primero se utiliza un haz de rectas del tipo para proyectar los valores de sobre la recta vertical que serán de la forma y proyectando serán de la forma .
Proyección sobre recta horizontal.

Si se sustituye sobre la circunferencia unidad nos dará la intersección de la proyección sobre esta circunferencia y por tanto los puntos de esta paramétricamente:

finalmente sustituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda

donde incluye el punto en el infinito.[13]

Función paramétrica en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro y radio a partir de la ecuación de la circunferencia se obtiene la forma paramétrica:[15]

donde

Función vectorial

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores ortonormales y , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro y radio que viene dada o descrita por la función vectorial:

donde

Ecuación en coordenadas polares

Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma donde es la distancia al centro o polo y el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferencia con centro en el polo y radio es:

La curva tiene que cumplir la ecuación:

Es decir:

De donde se deduce que

Cuando el centro está en el punto con radio la circunferencia es:

donde
CircunferenciaPolar.svg
Extendiendo la ecuación de la circunferencia:

Se hace el cambio y y se simplifica como:

Finalmente se toma la raíz positiva para que El polo no puede ser exterior a la circunferencia por que el dominio del parámetro no queda definido continuamente en la parametrización.

Propiedad

  • Dados tres puntos cualesquiera no alineados y existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos, es decir, esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos. La ecuación de la circunferencia está dada de por el determinante matricial:
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