Projektivt plan

Parallella linjer skär varandra i flyktpunkten i oändligheten.

Inom projektivt plan en struktur som utvidgar begreppet plan. I det vanliga Euklidiska planet skär två linjer varandra typiskt i en given punkt, men det finns parallella linjer som inte skär varandra. Ett projektivt plan kan betraktas som ett vanligt plan med tillagda "punkter i oändligheten" i vilka inbördes parallella linjer skär varandra. Härigenom skär alla linjer varandra i en och endast en punkt.

Renässansens konstnärer lade grundvalen för detta begrepp när de utvecklade teknikerna för perspektivteckning. Urexemplet är det reella projektiva planet. Detta urexempel är, i något olika förklädnader, viktigt inom algebraisk geometri, topologi och projektiv geometri där det bland annat betecknas PG(2, R), RP2 eller P2(R). Det finns många andra projektiva plan, både oändliga, som det komplexa projektiva planet och ändliga som Fanoplanet.

Ett projektivt plan är ett tvådimensionellt projektivt rum, men inte alla projektiva plan kan bäddas in i tredimensionella projektiva rum. Inbäddningen beror av Desargues sats.


Definition

Ett projektivt plan består av en mängd av linjer, en mängd av punkter och en relation mellan linjer och punkter kallad incidens och har följande egenskaper: [1]

  1. Två distinkta punkter är incidenta med exakt en linje.
  2. Två distinkta linjer är incidenta med exakt en punkt.
  3. Det finns fyra punkter sådana att ingen linje är incident med mer än två av dem.

Det andra villkoret innebär att det inte finns några parallella linjer. Det sista villkoret utesluter så kallade degenererade fall. Termen "incidens" används för att betona den symmetriska naturen hos förhållandet mellan punkter och linjer. Så används uttrycket "punkten P är incident med linjen l" i stället för "punkten P ligger på linjen l" och "linjen l går genom punkten P".

Andra Språk