Baselproblemet

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi[1]). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

konvergerar mot.

Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

För ekvationen blir en rot , och för övriga gäller enligt ovan:

(1)

Med variabelbytet får vi följande ekvation:

(2)

De nollskilda lösningarna till är vilket ger som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om är rötter till ekvationen gäller:

Tillsammans med ekvation 2 får vi då ( och ):

(3)

Genom att multiplicera detta med följer att

Andra Språk