Ändlig kropp

I abstrakt algebra är en ändlig kropp en kropp med ändligt många element. Teorin om ändliga kroppar utarbetades av Carl Friedrich Gauss (1777-1855) och Évariste Galois (1811-1832), därav benämns ändliga kroppar ibland för Galoiskroppar. Ändliga kroppar har applikationer i kombinatorik, kryptologi, talteori och kodningsteori (där de bland annat används för att konstruera felrättande koder, till exempel Reed-Solomonkoder.)

Egenskaper hos ändliga kroppar

Låt F vara en ändlig kropp och p vara karakteristiken av F. Då gäller följande:

  • p är ett primtal (eftersom karakteristiken av ett Integritetsområde alltid är ett primtal eller 0).
  • Ordningen av F är pn där n är ett positivt heltal.
  • Alla element i F satisfierar ekvationen xpn - x = 0 (Fermats lilla sats).
  • För varje n och p, existerar det en ändlig kropp med ordning pn, vilket är splittringskroppen av xpn - x över (heltalen modulo p).
Om K är en delkropp till F finns det ett polynom p(x) i K[x] (K[x] är en polynomring över K). Polynomet p(x) kan faktoriseras i F[x] som
Man säger att p(x) är separabel över K. Detta gäller eftersom om p(x) har grad pn så har p(x) högst pn rötter i F och enligt punkten ovan så är alla element i F rötter till polynomet. Därav är F den minsta kroppsutvidgningen av K som p(x) splittrar i. F kallas för en separabel kroppsutvidgning (till K). Ett polynom f(x) i en polynomring är separabel om och endast om f(x) och D(f(x)) är relativt prima.
  • Om x, y är i F, så gäller
Detta kan bevisas med induktion, idén är att man använder binomialutveckling. Eftersom alla tal som är en multipel av p är lika med 0 (i och med att karakteristiken av F är p), så kommer alla element, förutom det första och sista elementet, i binomialutvecklingen vara lika med 0.
Andra Språk
العربية: حقل منته
беларуская: Канечнае поле
български: Крайно поле
català: Cos finit
English: Finite field
español: Cuerpo finito
français: Corps fini
한국어: 유한체
italiano: Campo finito
עברית: שדה סופי
日本語: 有限体
português: Corpo finito
română: Corp finit
Simple English: Galois field
српски / srpski: Коначно поље
Türkçe: Sonlu alan
українська: Поле Галуа
粵語: 有限體
中文: 有限域