Површина

Three shapes on a square grid
Укупна површина ова три облика је приближно 15,57 квадрата.

Површина је геометријски појам који означава меру величине геометријске слике у еуклидском дводимензионалном простору. Тачка и линија немају површину, односно њихова површина је нула. Са друге стране раван има бесконачну површину. Површина је такође и део тела у простору који је изложен спољашњости. Мерењем површина су се бавили још стари Египћани, али су га до нивоа науке подигли тек стари Хелени. Код њих се површина неке геометријске слике израчунавала тако што се низом трансформација претвара у квадрат исте површине. Потом се измере странице квадрата и лако израчуна површина. [1] Од тих дана је израчунавање површине добило други назив: квадратура.

Површина је количина која описује у којој је мери дводимензионална фигура или облик, или планарне ламине, у равни. Површина је њен аналогни појам на дводимензионалној површи тродимензионалног облика. Површина може бити схваћена као количина материјала са датом дебљином која би била потребна да обуче модел облика, или количина боје потребне да прекрије површ са униформним наносом. [2] То је дводимензионални аналог дужине криве (једнодимензионални концепт) или запремине чврстог тела (тродимензионални концепт).

У СИ систему, стандардна јединица површине је квадратни метар (пише се као m2), што је површина квадрата чије су странице дуге по један метар. [3] Облик са површином од три квадратна метра би имао исту површину као и три таква квадрата. У математици, јединица квадрата је дефинисана да има површину од један, и површину од било којег облика или површи је бездимензиони реални број.

Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су троуглови, правоугаоници и кругови. Користећи ове формуле, површина сваког полигона може се наћи дељењем полигона у троуглове. [4] За облике са закривљеним границама, калкулус се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа). [5]

За чврсти облик као што је сфера, конус или цилиндар, површина њихових површи назива се површина површи. [2] [6] формуле за површине једноставних облика биле су рачунате у доба древних Грка, али рачунање површине компликованијих облика обично захтева мултиваријабилни калкулус.

Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у геометрији и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у линеарној алгебри, те је основна особина површи у диференцијалној геометрији. [7] У анализи, површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега, [8] ипак није сваки подскуп мерљив. [9] Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај запремине за дводимензионалне регије. [2]

Површина може бити дефинисана кроз употребу аксиома, дефинишући је као функцију колекције одређених равних фигура у скуп реалних бројева. Може бити доказано да таква функција постоји.

Формална дефиниција

Појам „површине” су дефинише аксиомима. Површина може бити дефинисана као функција из колекције M specijalne vrste равних фигура (названи мерљиви скупови) ка скупу реалних бројева који задовољавају следеће особине:

  • За све S у M, a(S) ≥ 0.
  • Ако су S и T у M тада су и ST и ST, и такође a(ST) = a(S) + a(T) − a(ST).
  • Ако су S и T у M са ST тада је TS у M и a(TS) = a(T) − a(S).
  • Ако је скуп S у M и S је конгруентно са T тада T је такође у M и a(S) = a(T).
  • Сваки правоугаоник R је у M. Ако правоугаоник има дужину h и ширину k тада је a(R) = hk.
  • Нека Q буде скуп затворен између две степ регије S и T. Степ регија је формирана од ограничене уније сусједних правоугаоника који се налазе на истој бази, нпр. SQT. Ако постоји уникатан број c такав да је a(S) ≤ c ≤ a(T) за све такве степ регије S и T, тада је a(Q) = c.

Може бити доказано да таква површинска функција доиста постоји. [10]

други језици
Адыгэбзэ: ЩIыпIэ инагъ
Afrikaans: Oppervlakte
Alemannisch: Flächeninhalt
العربية: مساحة
aragonés: Aria
ܐܪܡܝܐ: ܫܛܝܚܘܬܐ
অসমীয়া: ক্ষেত্ৰফল
авар: Площадь
تۆرکجه: اوز اؤلچوم
Bahasa Indonesia: Luas
Bahasa Melayu: Keluasan
български: Площ
Bân-lâm-gú: Biān-chek
Basa Jawa: Jembar
Basa Sunda: Aréa
башҡортса: Майҙан
беларуская: Плошча
беларуская (тарашкевіца)‎: Плошча
भोजपुरी: क्षेत्रफल
Boarisch: Flächn
bosanski: Površina
brezhoneg: Gorread
català: Àrea
Cebuano: Langyab
chiShona: Nharaunda
Cymraeg: Arwynebedd
Чӑвашла: Лаптăк
čeština: Obsah
dansk: Areal
dolnoserbski: Wopśimjeśe płoni
ދިވެހިބަސް: އަކަމިން
eesti: Pindala
Ελληνικά: Εμβαδόν
English: Area
español: Área
Esperanto: Areo
euskara: Azalera
فارسی: مساحت
føroyskt: Vídd
Frysk: Oerflak
Gaelg: Eaghtyr
Gàidhlig: Farsaingeachd
galego: Área
贛語: 面積
ગુજરાતી: ક્ષેત્રફળ
客家語/Hak-kâ-ngî: Mien-chit
Hawaiʻi: ʻAlea
עברית: שטח
हिन्दी: क्षेत्रफल
hornjoserbsce: Wobsah přestrjenje
hrvatski: Površina
Հայերեն: Մակերես
Ido: Areo
Ilokano: Kalawa
interlingua: Area
Ирон: Фæзуат
íslenska: Flatarmál
italiano: Area
日本語: 面積
ქართული: ფართობი
Kiswahili: Eneo
ភាសាខ្មែរ: ក្រលាផ្ទៃ
한국어: 넓이
Kurdî: Rûerd
latviešu: Laukums
Lëtzebuergesch: Fläch
lietuvių: Plotas
Limburgs: Oppervlak
lingála: Etando
मैथिली: क्षेत्रफल
македонски: Плоштина
Malagasy: Velarantany
Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄: Miêng-cék
Mirandés: Ária
မြန်မာဘာသာ: ဧရိယာ
مازِرونی: گتی
नेपाली: क्षेत्रफल
Nederlands: Oppervlakte
Nedersaksies: Oppervlakte
нохчийн: Майда
Nordfriisk: Areal (miat)
norsk: Areal
norsk nynorsk: Flatevidd
occitan: Aira
олык марий: Кумдык
oʻzbekcha/ўзбекча: Yuza
ਪੰਜਾਬੀ: ਖੇਤਰਫਲ
Pälzisch: Fläche
Plattdüütsch: Flach
português: Área
Patois: Ieria
română: Arie
русский: Площадь
संस्कृतम्: क्षेत्रफलम्
Scots: Aurie
سنڌي: ايراضي
Simple English: Area
slovenčina: Plocha (útvar)
slovenščina: Površina
словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ: Пространиѥ
Soomaaliga: Bed
کوردی: ڕووبەر
srpskohrvatski / српскохрватски: Površina (geometrija)
suomi: Pinta-ala
svenska: Area
தமிழ்: பரப்பளவு
Tagalog: Sukat
татарча/tatarça: Mäydan
తెలుగు: విస్తీర్ణం
Tiếng Việt: Diện tích
тоҷикӣ: Масоҳат
Türkçe: Alan
українська: Площа
اردو: رقبہ
Võro: Pindala
West-Vlams: Ippervlak
Winaray: Kahaluag
Wolof: Yaatuwaay
吴语: 面积
მარგალური: ფართობი
ייִדיש: שטח
Yorùbá: Ààlà
Zeêuws: Oppervlak
中文: 面积
粵語: 面積
žemaitėška: Pluots