Projektivna ravnina

Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera [1]. Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.

Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako (tudi ) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s .

Naj bo kolobar z deljenjem in naj označuje množico vseh mogočih trojk elementov iz . Za vsak neničelen v in premico v skozi izhodišče in podmnožica

spada v .

Projektivno ravnino nad označujemo s . To je množica vseh premic v skozi izhodišče. Podmnožica , ki pripada , je premica v , če obstoja ravnina v , v kateri je množica premic natančno .

Zgledi

  • Realno projektivno ravnino dobimo, če zavzame samo realne vrednosti. Kot zaprta neorientabilna realna 2-razsežna mnogoterost služi kot osnovni primer v topologiji.
  • Kompleksno projektivno ravnino dobimo, če zavzame kompleksne vrednosti. To je zaprta kompleksna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost in torej tudi zaprta orientabilna realna štiri razsežna mnogoterost.
  • Kvaternionska projektivna ravnina z oznako je razširitev realnega projektivnega prostora in kompleksnega projektivnega prostora na področje kjer koordinate ležijo v kolobarju kvaternionov.
  • Oktonioni ne tvorijo kolobarja z deljenjem zato zgornja definicija ni primerna. Običajno se smatra Cayleyjevo ravnino kot projektivno ravnino nad oktonioni.
Drugi jeziki