Универсальная алгебра

Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими алгебраическими конструкциями, как группы, кольца, модули, решётки, вводя присущие им всем понятия и общие для всех них утверждения и результаты. Является разделом, занимающим промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

История

Первое упоминание о разделе математики с таким наименованием относится к Альфреду Уайтхеду (его «Трактат об универсальной алгебре, с приложениями» [1] выпущен в 1898 году) [2], однако появление выделенной дисциплины, изучающей алгебраические структуры как произвольные множества с произвольными наборами операций и соотношений связано с работами Гаррета Биркхофа 1935 года [3] [4], в рамках работы над теорией решёток обратившего внимания на ряд параллельных конструкций, используемых в теории групп и колец: гомоморфизмы, факторгруппы и факторкольца, нормальные подгруппы и двухсторонние идеалы. Работы Биркхофа некоторое время не вызывали опубликованных откликов и развития, однако 1940-е годы отмечено появление определённого «фольклора», связанного таким универсальным подходом к алгебре, в частности, подход излагался в лекциях конца 1940-х годов, прочитанных Филипом Холлом ( англ.  Philip Hall) в Кембриджском университете [2].

Следующим шагом к созданию универсальной алгебры как раздела математики отмечаются работы Альфреда Тарского по теории моделей и Кэндзиро Сёды по алгебрам с бинарными операциями, а также работы Леона Генкина [5], Анатолия Мальцева [6], Абрахама Робинсона [7], Бьярни Йоунссона ( исл.  Bjarni Jónsson) [8], обративших внимание на эффективность применения аппарата математической логики, используемого в рамках строящейся в те годы теории моделей, к исследованию алгебраических систем как структур, обобщающих модели и алгебры. При этом, работа Мальцева 1941 года [9] отмечена как предвосхищающая логический подход к универсальной алгебре, но не получившая откликов и своевременного развития из-за войны, а лекция Тарского на Международном конгрессе математиков в 1950 году — как отправная точка для второго периода развития раздела [10].

С конца 1950-х годов развитие получило направление, исследующее свободные алгебры, прежде всего, благодаря работам Эдварда Марчевского ( польск.  Edward Marczewski) и последовавшей серии из более чем пятидесяти статей польских математиков в этом направлении [11]. В середине 1950-х годов Филипом Хиггинсом введены и изучены мультиоператорные группы [12] [13] как структуры, в которых может быть обобщено понятие коммутанта и всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам (по аналогии с соответствующими свойствами нормальной подгруппы и двухстороннего идеала кольца), позднее также изучены специальные классы мультиоператорных групп (мультиоператорные кольца и алгебры).

С начала 1960-х годов развивается теория квазимногообразий и вопросы их связи с аксиоматизируемыми классами алгебраических систем (Мальцев, Горбунов), наиболее бурно развивающимся направлением начала — середины 1970-х годов стали исследования многообразий конгруэнций (Бьярни Йоунссон, Гретцер).

К 1968 году библиография по универсальной алгебре насчитывала более 1 тыс. статей, к 1980 году — более 5 тыс.; в период с 1976 по 1988 год опубликовано 2 тыс. работ [14].

Во второй половине 1970-х годов возникли приложения универсальной алгебры в информатике — теории абстрактных типов данных, теории систем управления базами данных [15], приложения в основном строятся вокруг понятия многосортных алгебр. Среди основных направлений, наиболее активно развивавшиеся в 1980-е — 1990-е годы [16] — теория квазимногообразий, теория коммутаторов для многообразий конгруэнций, теория естественной двойственности ( англ. natural duality theory). В 2000-е годы получило интенсивное развитие отдельное направление — универсальная алгебраическая геометрия, обобщающая классическую алгебраическую геометрию, работающую с алгебраическими полями, на более широкие классы алгебраических систем [17].