Соотношения Крамерса — Кронига

Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот [1]. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости в классической электродинамике и амплитуды вероятности перехода ( матричного элемента) между двумя состояниями в квантовой теории поля.

Определение

Для комплексной функции комплексной переменной аналитичной в верхней полуплоскости и стремящейся к нулю при соотношения Крамерса — Кронига записываются следующим образом:

и

где символы означает взятие интеграла в смысле главного значения (по Коши). Видно, что и не являются независимыми, а значит, полная функция может быть восстановлена, если задана только её действительная или мнимая часть.

В более компактной форме: