Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть  — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки найдется её окрестность , гомеоморфная открытому множеству пространства , то называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности .

Пара , где  — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой в точке . Таким образом, каждой точке соответствует набор вещественных чисел , которые называются координатами в карте . Множество карт называется - атласом многообразия , если:

  • совокупность всех покрывает , т.е.
  • для любых таких, что , отображение:
является гладким отображением класса ;
является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты с картой

Два -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует -атлас. Совокупность -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые -структурами, при  — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие , наделенное -структурой, называется -гладким многообразием.

Замечания

  • Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение дяют аналитическую структуру, иногда обозначаемую -структурой.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства более общих пространств или даже , где  — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае рассматриваются голоморфные ( аналитические комплексные) -структуры () и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней -структура, и на -многообразии,, — -структура, если . Наоборот, любое паракомпактное -многообразие, , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что -многообразие нельзя наделить -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число -неизоморфных -структур на -мерной сфере равно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Отображения

Пусть  — непрерывное отображение -многообразий ; оно называется -морфизмом (или -отображением, , или отображением класса ) гладких многообразий, если для любой пары карт на X и на Y такой, что и отображение:

принадлежит классу . Биективное отображение , если оно и являются -отображениями, называется - изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае и и их -структуры называются -изоморфными.