Número ordinal

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Na teoria dos conjuntos, um número ordinal, ou só ordinal, é o tipo de ordem de um conjunto bem-ordenado. Eles são usualmente identificados com conjuntos hereditariamente transitivos. Ordinais são uma extensão dos Números Naturais diferentes dos inteiros e dos cardinais. Como outros tipos de números, ordinais podem ser somados, multiplicados e exponenciados.

Os ordinais foram apresentados por Georg Cantor en 1883 para acomodar sequências infinitas e para classificar conjuntos com certos tipos de estruturas de ordem neles. Ele os derivou por acidente, enquanto trabalhava num problema que envolvia séries trigonométricas – veja em Georg Cantor.

Os ordinais finitos (e cardinais finitos) são os números naturais: , já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o , que é identificado com o número cardinal . Entretanto, no caso transfinito, além de , ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o , há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são


Aqui, adição e multiplicação não são comutativas: em particular, é , ao contrário de , assim como é , enquanto não é. O conjunto de todos os ordinais contáveis constitui o primeiro ordinal incontável , que é identificado como cardinal (próximo cardinal após o ). Cardinais bem-ordenados são identificados com seus ordinais iniciais, ou seja, o menor ordinal daquela cardinalidade. A cardinalidade de um ordinal é a associação de ordinais com cardinais.

Em geral, cada ordinal é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (conta-los). Tal classe é fechada e não-limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de . Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como .Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo . Um subconjunto de é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento.

Ordinais estendem os números naturais

Um número natural (que, neste contexto, inclui o número 0) pode ser usado para dois propósitos: para descrever o tamanho de um conjunto ou para descrever a posição de um elemento numa sequência. Quando restritos a conjuntos finitos, estes conceitos coincidem; há somente uma forma de inserir um conjunto finito numa sequência linear, a menos de isomorfismo. Ao lidar com conjuntos infinitos, deve-se distinguir entre a noção de tamanho, que leva a números cardinais, e a noção de posição, que é generalizado pelos números ordinais descritos aqui. Isto se deve, enquanto todo conjunto tem somente um tamanho (sua cardinalidade), há várias boa-ordenações não-isomórficas de qualquer conjunto infinito, como explicado abaixo.

Enquanto a noção de número cardinal é associada com um conjunto sem estrutura particular sobre ele, os ordinais são intimamente ligados com o tipo especial de conjuntos que são chamados de bem-ordenados (tão intimamente ligados, de fato, que alguns matemáticos não fazem qualquer distinção entre os dois conceitos). Um conjunto bem-ordenado é um conjunto totalmente ordenado (dado quaisquer dois elementos, define-se qual é o menor e o maior de forma coerente) tal que não haja sequência decrescente infinita (entretanto, pode haver sequências crescentes infinitas); isso quer dizer, todo subconjunto não vazio do conjunto tem um elemento mínimo. Ordinais podem ser usados para rotular os elementos de qualquer conjunto bem-ordenado (o menor elemento sendo rotulado como 0, o sucessor dele é 1, o próximo é 2, “etc”) e para medir a “extensão” de todo o conjunto pelo menos ordinal que não é rótulo de um elemento pertencente ao conjunto. Esta “extensão” é chamado o tipo de ordem do conjunto.

Qualquer ordinal é definido pelo conjunto de ordinais que o precedem: de fato, a definição mais comum de ordinais identifica cada ordinal como o conjunto de ordinais que o precedem. Por exemplo, o ordinal 42 é o tipo de ordem de ordinais menores que ele, ou seja, os ordinais de 0 (o menor dos ordinais) a 41 (o predecessor imediato de 42), e é feramente identificado como o conjunto {0, 1, 2...41}. Da mesma forma, qualquer conjunto (S) de ordinais que é fechado ‘pra baixo’ – quer dizer que qualquer ordinal α em S e qualquer ordinal β < α, β está também no conjunto – é (ou poder ser definido com) um ordinal.

Até então nós mencionamos somente ordinais finitos, que são os números naturais. Mas há infinitos também: o menor infinito é ω, que é o tipo de ordem dos números naturais (ordinais finitos) e que pode ser identificado com o conjunto dos números naturais (de fato, o conjunto dos números naturais é bem-ordenado – como todo conjunto de ordinais – e como ele é fechado para baixo, pode ser identificado com o ordinal associado a ele, que é exatamente como definimos ω).

Talvez uma intuição mais clara dos ordinais pode ser formada ao examinar os primeiros: como mencionado acima, eles começam com os números naturais, 0, 1, 2, 3, 4, 5... depois de todos os números naturais, vem o primeiro ordinal infinito, o ω, e depois vem ω+1, ω+2, ω+3, e assim por diante. (O significado exato da adição será definido posteriormente, só considere-os como nomes.) Depois de todos estes, vem ω*2 (que é ω+ ω), ω*2+1, e assim por diante. Agora o conjunto de ordinais que nós formamos desta forma (ω*m+n, onde m e n são números naturais) deve ter um ordinal associado a ele: ω². Prosseguindo, teremos ω³, então ω4, e assim em diante, e ωω, ... e muito mais adiante o ε0 (épsilon zero). Nós podemos percorrer esse caminho indefinidamente longo. O menor menor ordinal incontável é o conjunto de todos os ordinais contáveis, expresso como ω1.

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