Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

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A métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ou modelo FLRW é uma solução exata das equações de campo de Einstein da relatividade geral, descreve um Universo em expansão ou contração, homogêneo e isótropico. Segundo as preferências geográficas ou históricas no nome desta métrica se utiliza algum subconjunto dos nomes dos cientistas Alexander Friedmann (muitas vezes Friedman), Georges Lemaître, Howard Percy Robertson e Arthur Geoffrey Walker. Por este motivo, é por muitos chamada de métrica de Friedmann-Robertson-Walker ou FRW, o que seria um desprezo pelo trabalho de Lemaître, que embora tenha errado na noção de um "átomo primordial", realizou trabalhos fundamentais nas derivações das soluções de Friedmann (ver adiante a questão da história do modelo).

Forma da métrica

A métrica FLRW inicia com a suposição de homogeneidade e isotropia. Também assume que o componente espacial da métrica pode ser dependente do tempo. A métrica geral que cumpre estas condições é:

[1]

Onde descreve a curvatura e é constante no tempo e é o fator de escala e é explicitamente dependente do tempo e as unidades naturais são utilizadas estabelecendo a velocidade da luz à unidade. As equações do campo de Einstein não se utilizam desta solução: a métrica se obtém das propriedades geométricas de homogeneidade e isotropia. A forma específica de necessita conhecer as equações do campo e a definição da equação de densidade de estado, .

Normalização

A métrica deixa alguma possibilidade de normalização. Uma escolha comum é considerar o fator de escala atual como a unidade (). Nesta eleição a coordenada é dimensional ou igual que . Nesta aproximação não é igual a ±1 ou 0 senão que .

Outra possibilidade é especificar que é ± 1 ou 0. Disto se obtém que onde o fator de escala agora é dimensional e a coordenada é adimensional.

A métrica frequentemente se escreve de uma maneira de curvatura normalizada mediante a transformação

Em coordenadas normalizadas em curvatura a métrica se converte em:

[2]

Onde: . Esta normalização assume que o fator de escala é adimensional mas pode converter-se facilmente à normalizada.

A distância comóvel é a distância a um objeto com velocidade peculiar zero. Na curvatura normalizada a coordenada é . A distância própria é a distância física a um ponto no espaço em um instante de tempo. A distância própria é .

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