Lei dos senos

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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência de raio r, de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c com ângulos internos , e vale a seguinte relação:

Demonstração

Teste

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:

e


em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:



Sendo o ângulo entre os vetores e , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:


Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:


Pois é uma relação possível de se inverter.

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