Infinito

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Ilusão artística de infinito, lembrando a obra de Escher.

Infinito (do latim infinítu, símbolo: ∞) é um adjetivo que denota algo que não tem início e/ou fim.

É um conceito usado em vários campos, como a matemática, filosofia e a teologia. É representado com o símbolo ∞, e na matemática é uma noção quase-numérica usada em proposições.Distingue-se entre infinito potencial e infinito atual. Mas é na matemática que o conceito tem as suas raízes mais profundas, sendo a disciplina que mais contribuiu para a sua compreensão.[1]

Formas de infinito

Infinito potencial

O infinito potencial é a forma mais natural e intuitiva de conceber o infinito, sendo por isso de aceitação geral e não controversa. Nesta concepção o infinito corresponde a algo que pode ser aumentado, continuado ou estendido, tanto quanto se queira.

Um exemplo é a sequência dos números naturais: é sempre possível somar mais um, estendendo-a indefinidamente:

Para Platão (428? – 347? a.C.) o potencial de extensão era considerado limitado, finito; podia ser adjetivado de peiron (limitado, claramente determinado). O conceito de infinito propriamente dito era algo irracional, impensável, sem sentido. Inclusive pareceu natural pensar que não faria sentido que Deus tivesse tão indesejada caraterística.

Aristóteles (384 – 322 a.C.), discípulo de Platão, cuja doutrina marcou muitos pensadores da história, como Tomás de Aquino, também recusou a existência do infinito como algo real ou pensável. Em boa parte, isso deveu-se aos paradoxos que o conceito de infinito encerra, como mostrou Zenão, que levavam a concluir o infinito como um conceito negativo, irracional e não pensável.

Apesar disso, Aristóteles aceitou a noção de infinito absoluto, apeiron (ilimitado, ininteligível, caótico). O método dedutivo, essencial à geometria aristotélica, determina que "não podemos conhecer os objetos posteriores que não derivem de elementos primeiros". Mas estes postulados primeiros são indemonstráveis, estão fora da ciência, estando no domínio da metamatemática. São o motor imóvel - absoluto - de todo o resto: Deus. Portanto, o infinito será algo para além da razão, mas que pode ser pensado como sendo transcendental ou no domínio do divino.[2]:9,23[3]

A infinidade potencial é caraterística da forma intuitiva de conceber o espaço e o tempo, mas não é evidente ou unânime se o infinito potencial será um atributo efetivo do espaço e tempo reais. Ao longo da história vários pensadores tentaram explorar e levar mais longe o conceito de infinito. Por necessidade da matemática, surgiu muito mais tarde a concepção de infinito em ato, que só foi apresentado de forma convincente no século XIX pela mão de Georg Cantor.

Infinito absoluto

Ver artigo principal: Infinito absoluto

O infinito absoluto, a par do infinito potencial, foi a única outra forma de infinito tomada em linha de conta pelos pensadores durante milénios.[3]:11

Aristóteles considera o infinito potencial, mas afirma não fazer sentido pensar a sua concretização como um todo completo, um infinito em ato. Impõe-se portanto um limite do processo de atuação, um "fim último", uma entelequia, usando o termo que os gregos introduziram na linguagem da filosofia.[3] :13,16

Este conceito de infinito como absoluto entrou na doutrina filosófica cristã. No século XIII esta contém muitos elementos da Suma Teológica de Tomás de Aquino, o qual, por sua vez, absorvera a estrutura filosófica de Aristóteles. A concepção do infinito aristotélico-tomista manteve-se dominante desde a civilização greco-latina até ao Renascimento.[3] :16-17

No século XIX, Georg Cantor desafiou a visão do infinito como algo que não podia ser tratado racionalmente e desenvolveu a sua teoria dos transfinitos. Esta teoria, apesar de ter permitido aumentar a compreensão do infinito, tinha os seus próprios limites, pelo que Cantor foi levado a concluir a existência de um infinito Absoluto, que consegue estar para além de toda a criação racional.

Infinito atual

O infinito atual, infinito real ou ainda infinito completo, é um conceito mais abstrato e controverso: faz sentido a existência por completo de uma entidade com um número infinito de elementos?

O aristotelismo nega a existência do infinito atual, que ele seja físico ou abstrato, tendo sido esta a posição dominante durante milénios. Pontualmente surgiram algumas vozes dissonantes, que admitiam pensar o infinito para lá do potencial como atual: Deus poderia ter uma natureza infinita atual, e não apenas um processo com potencial. São exemplos disso Gregório de Níssa, Nicolau de Cusa e, muito mais tarde, Georg Cantor. Em bom rigor, os pioneiros do conceito de infinito atual ainda o associavam ao apeiron - algo logicamente incoerente. Foi Cantor o primeiro a mostrar que o conceito poderia ser trabalhado de forma lógica e racional .

Na matemática, notou-se que existe uma grande diferença qualitativa entre uma sucessão potencial infinita de elementos, discretos, e a sucessão de pontos de um segmento de reta, aquilo que é chamado de linha contínua. No primeiro caso podemos acrescentar sempre mais um elemento, dando mais um passo para o elemento seguinte. Uma sucessão é infinitamente extensível. No caso do contínuo não faz sentido falar do elemento seguinte: entre um determinado ponto e outro posterior, tão próximo quanto se queira, é sempre possível encontrar um ponto intermédio, e assim consecutivamente, até ao infinito. Um segmento contínuo é infinitamente divisível.

Este segundo tipo de infinito levanta grandes questões sobre o infinito potencial, pois parte-se de um todo dado (o segmento de reta) que pode conter um si uma infinidade de elementos. O infinito em ato parece ser um propriedade necessária do contínuo.[3]

Estas propriedade do segmento de reta foram explicadas através do conceito de infinitésimo: "números" indefinidamente pequenos, menores do que qualquer número real. Este conceito tem raízes na grécia antiga, no atomismo de Leucipo de Mileto (século V a.C.) e seu discípulo Demócrito de Abdera (460 - 370 a.C.). O atomismo foi criticado ao longo da história, tendo sido Zenão de Eleia(495 - 430 a.C.) o protagonista de um dos mais marcantes ataques, através dos seus paradoxos. Foi recuperado mais tarde, para servir de fundamento ao cálculo infinitesimal de Leibniz (1646 - 1716) e Newton (1643 - 1727). Apesar da sua eficácia na matemática e na física, os infinitésimos apresentavam inconsistências, presentes no facto de serem simultaneamente não-finitos e não-nulos.

Os infinitésimos acabaram por ser banidos da matemática com a formulação do cálculo diferencial e integral por Karl Weierstrass (1815-1897), que substitui o infinitésimo pelo conceito de limite. Os infinitésimos foram mais tarde recuperados na matemática por Abraham Robinson (1918-1974), que em 1966 apresenta uma nova teoria para a análise matemática baseada nos infinitésimos, chamada de análise não-standard, que fornece um fundamento teórico para a utilização dos infinitésimos tal como Leibniz idealizou.[4]

Georg Cantor (1845 - 1918) foi considerado como sendo o primeiro a dar um tratamento lógico e racional ao infinito atual. Criou o conceito de número transfinito, que denota a "potência" da cardinalidade de um conjunto. O primeiro transfinito, (aleph-zero) representa a "quantidade" dos números naturais, sendo por isso um infinito em ato. Cantor mostrou que existem infinitos com diferentes potências, sendo a cardinalidade do conjunto dos números reais superior à dos números naturais e racionais.

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