Autovalores e autovetores

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Fig.1.Observe que neste mapeamento de cisalhamento da Mona Lisa, a imagem foi deformada de tal modo que o seu eixo central vertical (vector vermelho) não mudou de direção, mas o vector diagonal (azul) mudou de direção. Isso ocorre porque o vetor vermelho é um autovetor da transformação e o vetor azul não é. Caso o vetor vermelho não tenha seu módulo alterado - não seja esticado nem encolhido, o seu valor próprio (autovalor) é igual a 1. Todos os vectores com a mesma direção vertical, isto é, paralelos a este vetor, também são próprios, com o mesmo autovalor. Juntamente com o zero-vetor, eles formam o autoespaço para este autovalor.

Em álgebra linear, um escalar λ diz-se um valor próprio[1], autovalor[1][2][3] ou valor característico[1][2][4] de um operador linear se existir um vector x diferente de zero tal que . O vector x é chamado vector próprio, autovetor ou vetor característico.

Os autovalores de uma dada matriz quadrada A de dimensão são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular (ou não-invertível). Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz for singular.[5]

Multiplicidade

Caso o espaço vectorial no qual A esteja definido tenha dimensão finita, a multiplicidade algébrica (ou apenas multiplicidade) de um valor próprio λ de A é o número de factores do polinómio característico de A.

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