Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek

gdzie jest pewnym skalarem, to nazywa się wektorem własnym, a nazywa się wartością własną przekształcenia .

Danej wartości własnej operatora odpowiada zbiór

,

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni . Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej , gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora . Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej

Często zakłada się, że jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Inne języki
беларуская: Уласны вектар
беларуская (тарашкевіца)‎: Уласныя лікі, вэктары і прасторы
한국어: 고윳값
Bahasa Indonesia: Nilai dan vektor Eigen
íslenska: Eigen gildi
עברית: ערך עצמי
日本語: 固有値
norsk: Egenvektor
slovenščina: Lastna vrednost
українська: Власний вектор
اردو: ویژہ قدر
Tiếng Việt: Vectơ riêng
粵語: 特徵向量