Twierdzenie Bayesa

Ilustracja twierdzenia Bayesa przy pomocy dwóch nakładanych na siebie drzew decyzyjnych.

Twierdzenie Bayesa – twierdzenie teorii prawdopodobieństwa, wiążące prawdopodobieństwa warunkowe dwóch zdarzeń warunkujących się nawzajem, sformułowane przez Thomasa Bayesa. Twierdzenie stanowi podstawę teoretyczną wnioskowania bayesowskiego, oraz sieci bayesowskich stosowanych w eksploracji danych.

Wzór Bayesa

Twierdzenie (wzór) Bayesa w swej podstawowej formie mówi, że[1]

,
(B)

gdzie i są zdarzeniami oraz , przy czym

  • oznacza prawdopodobieństwo warunkowe, tj. prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia o ile zajdzie zdarzenie .
  • oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia o ile zajdzie zdarzenie .

Dowód

Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

W przypadku, gdy twierdzenie zachodzi ponieważ wtedy . Załóżmy zatem, że . Wtedy

Stąd

Dzieląc stronami powyższą równość przez otrzymujemy tezę.

Wersja twierdzenia dla wielu zdarzeń

Niech będą takimi zdarzeniami, że

   i    .

Wtedy

.

W szczególności, gdy jest dowolnym zdarzeniem oraz to

.
(B2)

Dowód

Ze wzoru Bayesa (B) wynika, że

.

Jednocześnie

.
Inne języki
العربية: مبرهنة بايز
aragonés: Teorema de Bayes
asturianu: Teorema de Bayes
беларуская: Тэарэма Баеса
беларуская (тарашкевіца)‎: Тэарэма Баеса
български: Теорема на Бейс
čeština: Bayesova věta
Ελληνικά: Θεώρημα Μπέυζ
فارسی: قضیه بیز
Gaeilge: Teoirim Bayes
한국어: 베이즈 정리
Bahasa Indonesia: Teorema Bayes
íslenska: Formúla Bayes
עברית: חוק בייס
lietuvių: Bajeso teorema
magyar: Bayes-tétel
Nederlands: Theorema van Bayes
Piemontèis: Fórmola ëd Bayes
português: Teorema de Bayes
Simple English: Bayes' theorem
српски / srpski: Бајесова теорема
Basa Sunda: Téoréma Bayes
svenska: Bayes sats
Türkçe: Bayes teoremi
українська: Теорема Баєса
Tiếng Việt: Định lý Bayes