Rozmaitość różniczkowa

Rozmaitość różniczkowarozmaitość topologiczna, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów, dających się sparametryzować za pomocą funkcji klasy co najmniej , tj. posiadającej nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi. Np. sfera, dla której nie istnieje globalna, gładka parametryzacja; jednak sferę można przedstawić jako sumę kilku części, które da się łatwo opisać za pomocą równań parametrycznych.

Definicja

Zbiór jest rozmaitością różniczkową (klasy i wymiaru , ), gdy:

  • istnieje w otwarte otoczenie oraz zbiór otwarty i
  • homeomorfizm taki, że odwzorowanie jest klasy i różniczka jest iniekcją dla każdego .

Funkcję nazywamy mapą rozmaitości, zaś jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.