Rozmaitość różniczkowa

(1) Przykład wprowadzenia rozmaitości różniczkowej klasy na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają linie współrzędnych, które są krzywymi w ogólności niegładkimi (na mapie środkowej i z prawej strony Zwrotnik Raka jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie - ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.

Rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych) tak, że wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów da się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

Rozmaitość różniczkowa to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych krzywoliniowych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są klasy conajmniej , tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie gradientu, dywergencji, rotacji na polach tensorowych - skalarnych, wektorowych, itd.).

Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się mapą (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się atlasem.

Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla sfery nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map, na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy c 0 {\displaystyle c^{0}} , oraz

  • przypisy
  • zobacz też
  • bibliografia
  • Spis treści

    Inne języki