Liczba trójkątna

Liczby trójkątne

Liczba trójkątna liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów.Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

(ciąg A000217 w OEIS).

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych[1][2].

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego:

gdzie jest symbolem Newtona:

Liczba jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru -elementowego, zatem -ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla osób[3].

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica:
suma:

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową[4].

Przypisy

  1. Weisstein, Eric W., Figurate Number, mathworld.wolfram.com [dostęp 2017-12-23] (ang.).
  2. N.J. Wilenkin, Kombinatoryka, PWN, 1972.
  3. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?
  4. Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Warszawa 1988, 83-02-02857-6.
Inne języki
العربية: عدد مثلثي
azərbaycanca: Üçbucaq ədədləri
български: Триъгълно число
dansk: Trekanttal
Deutsch: Dreieckszahl
emiliàn e rumagnòl: Nùmer triangolèr
Esperanto: Triangula nombro
فارسی: عدد مثلثی
한국어: 삼각수
Bahasa Indonesia: Bilangan segitiga
Nederlands: Driehoeksgetal
日本語: 三角数
Nordfriisk: Triihuktaal
português: Número triangular
Simple English: Triangular number
slovenščina: Trikotniško število
српски / srpski: Троугаони број
suomi: Kolmioluku
svenska: Triangeltal
українська: Трикутне число
Tiếng Việt: Số tam giác
中文: 三角形數