Krata (porządek)

Dzielniki 60 tworzą kratę.
Diagram Hassego kraty Tamriego. Warto zauważyć, iż punkty kraty tworzą wielościan, zwany angielskim terminem associahedron, co można przetłumaczyć jako „wielościan asocjacji”.

Kraty (ang. lattice) – struktury matematyczne, które można opisywać albo algebraicznie, albo w sensie częściowych porządków.

Struktura algebraiczna

Krata w sensie algebraicznym to struktura algebraiczna , gdzie jest (niepustym) zbiorem, a i są odwzorowaniami z w spełniającymi dla dowolnych następujące warunki:

1.
2.
3.
4.

Przykładem kraty jest dowolna algebra Boole’a.

W każdej kracie spełniona jest równoważność: Relacja zdefiniowana za pomocą równoważności

jest częściowym porządkiem, w którym każda para ma kres górny i kres dolny:

, .
Krata permutacji zbioru czteroelementowego.

Niekonieczność aksjomatu 1

Aksjomat 1 podaje się tradycyjnie w definicji kraty, ale wynika on z aksjomatu 4:

Niech . Wtedy na mocy lewej części aksjomatu 4 otrzymujemy

a na mocy prawej:

co po podstawieniu do poprzedniego wzoru daje:

.

Podobnie dowodzi się, że .