Krata (porządek)

Dzielniki 60 tworzą kratę.
Diagram Hassego kraty Tamriego. Warto zauważyć, iż punkty kraty tworzą wielościan, zwany angielskim terminem associahedron, co można przetłumaczyć jako "wielościan asocjacji".

Kraty (ang. lattice) są strukturami matematycznymi, które można opisywać albo algebraicznie, albo w sensie częściowych porządków:

Struktura algebraiczna

Krata w sensie algebraicznym to struktura algebraiczna , gdzie jest (niepustym) zbiorem, a i są odwzorowaniami z w spełniającymi dla dowolnych następujące warunki:

1.
2.
3.
4.

Przykładem kraty jest dowolna algebra Boole’a.

W każdej kracie spełniona jest równoważność: Relacja zdefiniowana za pomocą równoważności

jest częściowym porządkiem, w którym każda para ma kres górny i kres dolny:

, .
Krata permutacji zbioru czteroelementowego.

Niekonieczność aksjomatu 1

Aksjomat 1 podaje się tradycyjnie w definicji kraty, ale wynika on z aksjomatu 4:

Niech . Wtedy na mocy lewej części aksjomatu 4 otrzymujemy

a na mocy prawej:

co po podstawieniu do poprzedniego wzoru daje:

.

Podobnie dowodzi się, że .