Schrödinger-ligning

Schrödinger-ligningen er den ligningen som beskriver hvordan kvantemekaniske systemer utvikler seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne ideen og beskriver det som ofte blir kalt materiebølger. Kort tid etterpå viste Schrödinger selv at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Snart viste det seg at den kunne med stor suksess brukes også til å beskrive mer kompliserte atomer og molekyler.

Dette representerte begynnelsen på kvantemekanikken som dermed også ble kalt for «bølgememanikk» beskrevet ved Schrödinger-ligningen. Samtidig med at denne ble tatt i bruk, hadde den tyske fysiker Werner Heisenberg gitt en alternativ beskrivelse av kvantemekaniske fenomen hvor de klassiske variable ble erstattet med ikke-kommuterende operatorer. Det ble fort klart at denne beskrivelsen var ekvivalent med beskrivelsen til Schrödinger. Da operatorene til Heisenberg kunne representeres som matriser, kalles denne formuleringen ofte for matrisemekanikk. En mer abstrakt formulering ble etter kort tid gitt av den engelske fysiker Paul Dirac som forente på en elegant måte beskrivelsene til Schrödinger og Heisenberg.[1]

I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for en partikkel. For at denne skulle gi en riktig beskrivelse av hydrogenatomet, måtte partikkelen bevege seg ikke-relativistisk. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange ikke-relativistiske partikler som vekselvirker. Spesielt etter arbeiden til Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig i de forskjellige situasjoner.

Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x,t) til Schrödinger er i alminnelighet et komplekst tall. Den er en abstrakt størrelse som gir informasjom om hvor en partikkel finnes. Mer nøyaktig, Ψ*Ψ er sannsynligeten for å finne partikkelen ved et bestemt sted og ved et bestemt tidspunkt som foreslått av den tyske fysiker Max Born kort tid etter at Schrödinger fremla sin teori.

For en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t) , er denne sannsynlighetsbølgen styrt av Schrödinger-ligningen

Her er den reduserte Plancks konstant ħ = h/2π  og i er den imaginære enhet. Ligningen er en lineær, partiell differensialligning. Men i motsetning til vanlige bølgeligninger som er av 2. orden i tiden, er denne av 1. orden i tiden. På høyre side av ligningen opptrer Hamilton-operatoren for partikkelen som beskrives. Denne operatoren ser forskjellig ut avhengig av hvor mange partikler som inngår i systemet, hvordan de vekselvirker eller hvilke variable som beskriver systemet. Men alltid har Schrödinger-ligningen den samme formen

hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon avhengig av de variable som inngår i Hamilton-operatoren. Denne funksjonen vil i det mer generelle tilfellet ikke lenger være en enkelt bølge, men må heller kalles en kompleks sannsynlighetsamplitude der Ψ*Ψ gir sannsynligheten for å observere systemet i en tilstand med bestemte egenskaper.[2]

Andre språk
norsk nynorsk: Schrödingerlikninga
Bahasa Indonesia: Persamaan Schrödinger
Bahasa Melayu: Persamaan Schrödinger
Simple English: Schrödinger equation
српски / srpski: Šredingerova jednačina
srpskohrvatski / српскохрватски: Šredingerova jednačina