Projektivt plan

Forsøk på en fremstilling av det projektive planet som vender inn i seg selv.

Projektivt plan er en flate bestående av punkter og linjer som har egenskaper gitt ved projektiv geometri. Denne er mer fundamental enn euklidsk geometri ved at parallelle linjer ikke lenger finnes og heller ikke entydige sirkler. Den får dermed en mye løsere og generell struktur. Alle linjer skjærer hverandre i et punkt. Vinkler og lengder av linjestykker er ikke lenger meningsfulle konsept. I stedet vil det primære begrepet i det projektive planet være skjæringspunkt mellom linjer.

Det projektive planet er ikke plant i vanlig forstand, men må forstås som en abstrakt, matematisk flate. Hvis man prøver å forestille seg den i vårt vanlige, tredimensjonale rom, ville denne flaten se ut til å gå gjennom seg selv. Dette ville unngås hvis den befant seg i et rom med ekstra dimensjoner.

Allerede i Renessansen ble den første innsikt i egenskapene til det projektive planet etablert i forbindelse med fremstillingen av perspektiv i bilder. To bilder malt på forskjellige ståsteder, vil i alminnelighet se forskjellige ut. Et rektangel vil for eksempel bli avbildet som en skjev firkant, mens en sirkel vil bli seende ut som en ellipse eller et annet kjeglesnitt. Men ved slike perspektiviske fremstillinger vil en linje alltid avbildes som en linje og dens skjæringspunkt med andre linjer vil kun flyttes, ikke forsvinne. Parallelle linjer i motivet vil se ut til å skjære hverandre i et forsvinningspunkt i bildet. Dette ligger på horisonten som er avbildningen av punktene som ligger uendelig langt borte.

Den fulle forståelse av det projektive planet har hatt betydning for utviklingen av ikke-euklidsk geometri. I dag er det av stor praktisk betydning i forbindelse med bildebehandling og datagrafikk. Vanligvis betegnes det projektive planet som P2 eller som RP2 for å understreke at det er beskrevet med koordinater som er reelle tall. Hvis man i stedet hadde benyttet komplekse tall, vil det betegnes som CP2. Dette komplekse, projektive planet er matematisk interessant og blir også studert med tanke på anvendelser innen teoretisk fysikk.

Andre språk