Lagrange-mekanikk

Lagrange-mekanikk er en mer generell formulering av klassisk mekanikk enn den som ble innført av Isaac Newton. I stedet for en formulering av bevegelseslovene for et mekanisk system uttrykt ved akselerasjonen forårsaket av alle krefter som virker på det, viste den franske fysiker og matematiker Joseph Louis Lagrange i 1788 ut fra d'Alemberts prinsipp at de kan utledes fra en skalar funksjon av systemets uavhengige variable og deres tidsderiverte. Denne funksjonen kalles i dag for Lagrange-funksjonen. For et system med en veldefinert kinetisk energi T og og potensiell energi V er Lagrange-funksjonen L = T - V.

Et generelt system kan beskrives ved N uavhengige variable eller generelle koordinater q = (q1, q2, ... , qN). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Lagrange-funksjonen er da av formen

hvor de tidsderiverte er . Den klassiske bevegelsen er nå gitt som løsningen av differensialligningen

som kalles Euler-Lagrange-ligningen. Den var tidligere blitt utledet av Leonhard Euler og Lagrange i forbindelse med løsning av forskjellige optimaliseringsproblem ved bruk av variasjonsregning.

Men det var den irske fysiker og matematiker William Rowan Hamilton som på midten 18-hundreårstallet viste at den samme ligningen kan utledes fra et virkningsprinsipp. Han innførte en ny definisjon av begrepet mekanisk virkning. For en bevegelse av systemet fra en gitt tilstand A til en senere tilstand B er virkningen definert ved integralet

hvor L er Lagrange-funksjonen for systemet. Den klassiske bevegelsen følger en bane hvis virkning skal ha et ekstremum, vanligvis et minimum. Under små variasjoner δq rundt denne klassiske banen er virkningen derfor stasjonær, det vil si at den resulterende variasjon

Ved bruk av standard variasjonsregning finner man da at den klassiske bevegelsen må oppfylle Euler-Lagrange-ligningen. Dette virkningsprinsippet kalles vanligvis i dag for Hamiltons virkningsprinsipp og spiller en fundamentalt viktig rolle i moderne fysikk. Ofte blir det omtalt som prinsippet om minste virkning selv om det navnet noen ganger kan være misvisende.

Lagrange-mekanikk kan også brukes til beskrivelse av kontinuerlige systemer og felt. Lagrange-funksjonen er da gitt som et volumintegral over en Lagrange-tetthet. Moderne kvantefeltteorier formuleres alle på denne måten.

Andre språk
norsk nynorsk: Lagrangemekanikk
Bahasa Indonesia: Mekanika Lagrangean
українська: Механіка Лагранжа
Tiếng Việt: Cơ học Lagrange