Fermats prinsipp

Fermats prinsipp ble foreslått av den franske jurist og matematiker Pierre de Fermat (1601 - 1665) rundt 1660 for lysets bevegelse. I utgangspunktet sier prinsippet sier at en lysstråle som beveger seg fra et punkt til et annet, velger den veien som leder raskest frem til målet. I den følgende tid ble tilsvarende prinsipp for mekaniske system funnet av den franske naturviter Pierre Louis Maupertuis (1698 - 1759) og den irske matematiker William Rowan Hamilton (1805 - 1865). Disse virkningsprinsippene danner i dag grunnlaget for all moderne fysikk og fikk først en dypere forklaring med kvantemekanikken. Spesielt har den amerikanske fysiker Richard Feynman (1918 - 1988) bidratt til dette.

Hastigheten c til lys som går gjennom et medium, er mindre enn lyshastigheten c0 i vakuum. Matematisk uttrykkes dette som c = c0 /n hvor n > 1 er brytningsindeksen til mediet. Den kan variere med posisjonen r i mediet slik at man i alminnelighet har n = n (r). Lyset behøver derfor en tid dt = ds/c = n ds/c0 for å tilbakelegge en liten veilengde ds. Går lyset langs en bestemt bane fra et punkt A til et punkt B, trenger det da en endelig tid T = L/c0 hvor

er den optiske veilengden. Denne beskrivelsen er gyldig når bølgelengden til lyset er mye mindre enn karakteristiske lengder i systemet man beskriver. Man kan da benytte denne form for geometrisk optikk.

Fermats prinsipp sier at lyset velger den banen som gir den minste tiden T. Mer generelt sier det at denne tiden skal være ekstremal, det vil si enten være minimal eller noen ganger også maksimal. Det ekvivalent med å si at denne skal være stasjonær under små forandringer. En liten variasjon av banen skal gi en forsvinnende liten variasjon av den optiske veilengden. Matematisk skrives dette som

Den fysiske banen kan nå beregnes ved bruk av variasjonsregning som for andre virkningsprinsipp.

Andre språk