Tralie (wiskunde)

Hasse-diagram van een tralie als een partieel geordende verzameling

In de wiskunde is een tralie een partieel geordende verzameling waarin elke eindige deelverzameling zowel een supremum als een infimum heeft. De naam is afkomstig van de voorstelling van een tralie in een Hasse-diagram, waarin de in de ordening vergelijkbare elementen door een lijn zijn verbonden en het kleinere element lager geplaatst is dan het grotere. De zo ontstane figuur doet in sommige gevallen aan een traliewerk denken.

Definitie

Een tralie is een partieel geordende verzameling , waarin voor elk tweetal elementen en de verzameling zowel een supremum (= kleinste bovengrens) als een infimum (= grootste ondergrens) heeft.

Uit de definitie volgt direct dat elke eindige (niet-lege) deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft.

Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet begrensd.

Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie.

Dualiteit

Door omkering van de ordening ontstaat uit een tralie een andere tralie, waarin als het ware de begrippen groter en kleiner omgewisseld zijn. Is een tralie, dan is ook er een.

Ordening

De ordening en de begrippen supremum en infimum zijn erg met elkaar verbonden. In feite leggen supremum en infimum de ordening vast. Als namelijk en beide tralies zijn, is , dat wil zeggen beide tralies hebben dezelfde partiële ordening. De ordening wordt immers bepaald door:

of equivalent door

Dus:

.