Hilbertruimte

Hilbert-ruimten kunnen worden gebruikt om de harmonischen van vibrerende snaren te bestuderen.

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is een hilbertruimte, vernoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert, een abstracte vectorruimte die voorzien is van de extra structuur van een inwendig product. Een hilbertruimte veralgemeent het begrip euclidische ruimte en breidt de methoden van de vectoralgebra en de analyse van het tweedimensionale euclidische vlak en de driedimensionale ruimte uit naar ruimten met een eindig- of oneindig aantal dimensies.

Hierdoor zijn de begrippen lengte en hoek in een hilbertruimte gedefinieerd en kunnen lengten en hoeken in een hilbertruimte altijd gemeten worden. In aanvulling hierop vereist men verder dat hilbertruimten met betrekking tot de daardoor gedefinieerde norm volledig zijn. Volledigheid houdt in dat een hilbertruimte een voldoende aantal limieten kent, zodanig dat de technieken van de analyse kunnen worden gebruikt in een hilbertruimte.

Hilbertruimten blijken van nature voor te komen in de wiskunde, natuurkunde en de techniek, meestal als oneindigdimensionale functieruimten. Vanuit dit gezichtspunt werden de vroegste hilbertruimten in het eerste decennium van de 20e eeuw ook bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. Hilbertruimten zijn onmisbare hulpmiddelen in de theorieën van partiële differentiaalvergelijkingen, de kwantummechanica, de Fourier-analyse (met inbegrip van toepassingen in de signaalverwerking) en de ergodische theorie, die de wiskundige onderbouwing vormt voor de studie van de thermodynamica. John von Neumann bedacht de term "hilbertruimte" voor het abstracte begrip dat 'ten grondslag ligt aan veel van deze uiteenlopende toepassingen'. Het succes van de methoden van de hilbertruimte luidde het begin in van een zeer vruchtbare periode voor de functionaalanalyse. Afgezien van de klassieke euclidische ruimten zijn voorbeelden van hilbertruimten ruimtes van kwadratisch integreerbare functies, rijruimten, sobolev-ruimten, bestaande uit veralgemeende functies en hardy-ruimten van holomorfe functies.

Meetkundige intuïtie speelt een belangrijke rol in veel aspecten van de hilbertruimtetheorie. Analoga van de stelling van Pythagoras en de parallellogramwet zijn geldig in een hilbertruimte. Op een dieper niveau spelen loodrechte projecties op een deelruimte (het analogon van het bepalen van de hoogtelijn in een driehoek) een belangrijke rol in optimalisatieproblemen en andere aspecten van de theorie. Een element van een hilbertruimte kan uniek worden bepaald door zijn coördinaten met betrekking tot een verzameling van coördinaatassen (een orthonormale basis), in analogie met cartesiaanse coördinaten in het vlak. Als deze verzameling van coördinatenassen aftelbaar oneindig is, betekent dit dat een hilbertruimte ook beschreven kan worden in termen van oneindige rijen die kwadratisch optelbaar zijn. Lineaire operatoren op een hilbertruimte zijn eveneens vrij concrete objecten: in veel gevallen zijn het transformaties die de ruimte met verschillende factoren in onderling loodrechte richtingen oprekken of inkrimpen in een betekenis die gepreciseerd wordt door het bestuderen van hun spectrum.

Elke hilbertruimte is een banachruimte, maar niet alle banachruimten zijn hilbertruimten. Als een banachruimte een hilbertruimte is, kan men het inwendig product van de hilbertruimte op eenduidige wijze reconstrueren uit de normfunctie.

In andere talen
Afrikaans: Hilbert-ruimte
العربية: فضاء هيلبرت
azərbaycanca: Hilbert fəzası
dansk: Hilbertrum
Deutsch: Hilbertraum
Ελληνικά: Χώρος Χίλμπερτ
English: Hilbert space
Esperanto: Hilberta spaco
magyar: Hilbert-tér
lietuvių: Hilberto erdvė
norsk nynorsk: Hilbertrom
norsk: Hilbertrom
پنجابی: ہلبرٹ سپیس
português: Espaço de Hilbert
română: Spațiu Hilbert
srpskohrvatski / српскохрватски: Hilbertov prostor
Simple English: Hilbert space
slovenčina: Hilbertov priestor
slovenščina: Hilbertov prostor
српски / srpski: Хилбертов простор
svenska: Hilbertrum
Türkçe: Hilbert uzayı
oʻzbekcha/ўзбекча: Gilbert fazosi
Tiếng Việt: Không gian Hilbert
粵語: 囂拔空間